VE Schneider și colab. Curs scurt de Matematică, volumul I, Ch. 2, p.1.
VS Shchipachev, Matematica Superioară, capitolul 10, p.2.
Prelegerea analizează factorii determinanți ai doua și a treia ordine, proprietățile lor. Și Cramer, care să permită rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind determinanți. Detectoarele sunt folosite în continuare în subiect „Vector algebra“ atunci când se calculează produsul vectorial al vectorilor.
Prima întrebare de formare factorii determinanți doua și a treia
Luați în considerare un tabel de patru numere de forma
Numerele din tabel sunt etichetate cu doi indici. Primul index indică numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei.
DETERMINAREA 1.Opredelitelem a doua este o expresie a formei:
Numerele A11, ..., A22 numit e l e m e t o m și determinant.
Diagonala elementelor formate a11; a22 se numește r n și n-lea, iar diagonala formată de elementele A12; A21 - n W o h n-lea.
Astfel, cea de a doua diferență de comandă este egală cu elementele determinante ale produselor principale și de diagonalele.
Rețineți că, ca răspuns la numărul de rotații.
Să considerăm acum un tabel de nouă numere scrise în trei rânduri și trei coloane:
DETERMINAREA 2.Opredelitelem pentru a treia este o expresie a formei:
Elementele A11; A22; a33 - formează principalul diagonală.
Numbers A13; A22; a31 - formă diagonal incidental.
Acesta prezintă schematic modul în care termenii și sunt formate cu un plus-minus:
"+" "-"
Cu avantaj includ: produsul elementelor de pe diagonala principală, celelalte două componente sunt produsul elementelor situate la nodurile triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala principală.
Termenii cu mai puțin sunt formate în același mod în raport cu secundar diagonală.
Regula pentru a calcula determinant al treilea ordin numit
n și p și n o m e t r y s l g n și a unei.
EXEMPLE. Se calculează în conformitate cu regula de triunghiuri:
NOTĂ. Determinanți numite d e t e r m și n și m și n și m.
A 2 proprietăți întrebare de formare de anumiți factori determinanți.
Următoarele proprietăți dețin pentru determinanților orice ordine. Toate acestea pot fi dovedite prin verificarea directă, pe baza regulilor de calcul factori determinanți.
Proprietatea 1. Valoarea determinantului nu se schimba în cazul în care linia sa de swap cu coloanele corespunzătoare.
Relevând atât determinantul, vedem că egalitatea.
Seturi 1 proprietate de echivalență de rânduri și coloane determinantului. Prin urmare, toate celelalte proprietăți ale determinantului vor fi formulate pentru rânduri și coloane.
Proprietatea 2. Atunci când se deplasează cele două rânduri (sau coloane) modificări determinante în semn opus, menținând în același timp valoarea absolută.
Proprietate 3. Element rând global multiplicator (sau coloana) poate fi luată ca un semn al determinantului.
Proprietatea 4. Dacă determinant are două rânduri identice (sau coloane), este egal cu zero.
Această proprietate poate fi dovedită prin verificarea directă, și puteți utiliza proprietatea 2.
Să determinantul pentru D. Atunci când se deplasează cele două prima și a doua rânduri identice, nu se va schimba, iar a doua proprietate, trebuie să se schimbe semnul, adică
D = - D 2 U U D = 0 D = 0.
Proprietate 5. Dacă toate elementele unui anumit rând (sau coloana) sunt zero, determinantul este zero.
Această proprietate poate fi considerată ca o proprietate specială caz, atunci când 3
Proprietatea 6. Dacă elementele celor două rânduri (sau coloane) sunt proporționale cu determinant, determinantul este zero.
Se poate dovedi inspectarea directă sau prin utilizarea proprietăților 3 și 4.
7. Valoarea proprietate a determinantului nu se schimbă dacă elementele unui rând (sau coloană) pentru a adăuga elementele corespunzătoare ale unui alt rând (sau coloana) înmulțit cu același număr.
Este dovedit prin verificarea directă.
Aplicarea acestor proprietăți poate, în unele cazuri, să faciliteze procesul de calcul determinanților, în special al treilea ordin.
În cele ce urmează vom avea nevoie de concepte minore și complement algebric. Luați în considerare aceste concepte pentru a determina al treilea ordin.
DEFINIȚIE 3.Minorom acest element determinant al treilea ordin este determinantul ordinul al doilea, produs din aceasta prin ștergerea rândului și coloanei la a cărui intersecție este elementul activ.
Minor element de ai j este notată Mi j. Atât de mult pentru minor elementul a11
El a obținut în cazul în care determinant al treilea ordin de a șterge primul rând și prima coloană.
DEFINIȚIE 4.Algebraicheskim completează elementul determinant numit său minor înmulțit cu (-1) k. unde k - cantitatea de numere de linie și de coloană, la intersecția în care elementul este în valoare.
Cofactor ai j este un element Ai j.
Astfel, Ai j =.
Să ne scrie cofactori elementelor A11 și A12.
Este util să ne amintim regula: cofactor elementului este egal cu determinantul Menorah sale cu semnul plus, în cazul în care cantitatea de numere de linie și de coloană, care element de cost este chiar și cu semnul minus, dacă această sumă este impar.
EXEMPLU. Găsiți minori și cofactori ale elementelor din primul rând al determinantului:
În mod evident, minorii și cofactori pot diferi doar în semn.
Luați în considerare fără dovada unei importante teoremă - factor determinant Teorema de expansiune.
Factorul determinant este suma produselor de elemente ale unui rând sau o coloană în cofactori lor.
Folosind această teoremă, vom scrie extinderea determinant al treilea ordin în ceea ce privește prima linie.
În formă extinsă:
Această formulă poate fi utilizată ca determinant principal în calculul al treilea ordin.
Teorema de descompunere ne permite să reducem calcularea determinantului al treilea ordin la calcularea celor trei factori determinanți de ordinul al doilea.
Se recomandă să se stabilească determinant pentru rândul sau coloana în care există zero, deoarece zero elemente nu este necesară pentru a găsi cofactori.
Descompunerea teoremă oferă un al doilea mod de a calcula determinanții al treilea ordin.
EXEMPLE. Calculați determinantul folosind teorema de expansiune.
Am folosit o descompunere de-al doilea rând.
Descompunerea teoremă poate calcula, de asemenea, factorii determinanți de ordin superior, reducerea lor la calculul mai multor determinanți ai al treilea sau al doilea ordin.
De exemplu, un al patrulea factor determinant ordin poate fi redus la calculul celor patru determinanți ai treilea ordin.
Treia întrebare academică Cramer
Noi aplicăm analiza teoriei determinanților la sistemele de ecuații liniare de rezolvare.
Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute.
Aici x1, x2 - necunoscut;
a11, ..., a22 - coeficienții necunoscutelor, indexate de doi indici, în cazul în care primul indice indică numărul ecuației, iar al doilea index - un număr necunoscut.
b1, b2 - membri liberi.
Să ne amintim că o soluție de (3) este un x1 pereche, valori x2 care atunci când este substituit în ambele ecuații le atrage în egalitatea corectă.
În cazul în care sistemul are o soluție unică, această soluție poate fi găsită folosind identificatorul secundar.
Definiție 5. determinantul coeficienților de necunoscutele, se numește determinant al sistemului.
Notăm determinantul sistemului D.
Coloanele determinant D sunt coeficienți, respectiv, cu x1 și x2.
Vom introduce două d o p n și l adică l s n i x o p p e d l e și l adică I. care sunt obținute din determinantul înlocuirea unuia dintre coloanele membrii libere ale coloanei:
Luați în considerare următoarea teoremă fără dovezi:
Cramer (pentru n = 2)
Dacă sistemul determinant D (3) este diferit de zero (numărul D 0), sistemul are o soluție unică, care este dat de:
Formula (4) sunt formulele Cramer.
EXEMPLU. Rezolva sistemul de regula lui Cramer.
Răspuns: x1 = 3; x2 = -1
2. Sistemul de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:
În cazul unui singur sistem de soluții (5) pot fi rezolvate prin utilizarea unui al treilea ordin determinanților.
Sistemul D Determinant are forma:
Introducem trei determinant suplimentar:
In mod similar teorema este formulată.
Cramer (pentru cazul n = 3)
Dacă sistemul determinant D (5) este non-zero, atunci sistemul are o soluție unică, care este dat de:
Formula (6) - este de formula Cramer.
NOTĂ. G. Kramer (1704 - 1752) - matematician elvețian.
Rețineți că teorema lui Cramer se aplică atunci când numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și când determinantul D este nenul.
Notă doar un singur caz:
Dacă determinantul sistemului este zero (D = 0), și cel puțin o determinanților suplimentari diferiți de zero, sistemul nu are soluții (adică este inconsistent).
Teorema lui Cramer poate fi generalizat la un sistem de n ecuații liniare în n necunoscute.
În cazul în care, atunci singura soluție este pentru sistemul
determinant suplimentar obtinut din determinant D, în cazul în care acesta este necunoscut coeficienții coloanei
xi înlocui coloana termenilor liberi.
Rețineți că factorii determinanți ai D, D1, .... Dn de ordinul n.