Teorema 1. Aproape fiecare poligon regulat poate fi descris ca un cerc.
Să ABCDEF (Figura 419) - un poligon regulat. este necesar să se demonstreze că este posibil să se descrie un cerc în jurul lui.
Știm că este întotdeauna posibil pentru a desena un cerc prin trei puncte, care nu se află pe o linie dreaptă; atunci este întotdeauna posibil pentru a desena un cerc, care va avea loc prin oricare trei noduri ale unui poligon regulat, de exemplu prin nodurile E, D și C. Let punctul O - centrul cercului.
Vom dovedi că acest cerc va trece prin, iar al patrulea vârf al poligonului, de exemplu, prin partea de sus B.
Segmentele OE, DO și OS sunt egale între ele și fiecare egală cu raza cercului. Petreceti mai mult OB segment; despre acest segment nu poate fi corect să spunem că este de asemenea egală cu raza cercului, este necesar să se dovedească. Luați în considerare triunghiuri OED și ODC, ele sunt isoscel egale și deci, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Dacă unghiul intern al poligonului este egal cu # 945;. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = # 945; / 2; dar dacă ∠4 = # 945; / 2. apoi ∠5 = # 945; / 2. și anume ∠4 = ∠5.
Concluzionăm că \ (\ Delta \) OSD = \ (\ Delta \) SALT și apoi OB = OC, t. E. Segmentul OB egală cu raza cercului interconectat. Din aceasta rezultă că cercul va trece prin partea de sus și într-un poligon regulat.
Aceeași recepție demonstrează că cercul construit și să treacă prin toate celelalte vârfurile poligonului. Deci, acest cerc va fi descrisă cu privire la un poligon regulat dat. Acest lucru dovedește teorema.
Teorema 2. In fiecare poligon regulat se poate înscrie într-un cerc.
Să ABCDEF - (. Figura 420) poligon regulat, este necesar să se demonstreze că un cerc poate fi înscris în ea.
Din teorema anterioară știm că este posibil să se descrie un cerc despre un poligon regulat. Să punctul O - centrul cercului.
Ne alăturăm noduri OC a poligonului. Rezultate triunghiuri OED, ODC, etc sunt egale, atunci egal și înălțimea lor condusă de la O, r. F. OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Prin urmare cercului din punctul O ca centru de rază egală cu segmentul trece OK prin punctele K, L, M, N, P și Q, și înălțimea triunghiurile sunt razele cercului. Laturile poligonului sunt perpendiculare pe razele la aceste puncte, astfel încât acestea sunt tangente la acest cerc. Acest lucru înseamnă că cercul construit înscris în poligon regulat.
Aceeași construcție poate fi realizată pentru orice poligon regulat, prin urmare, pentru a intra în cercul de la orice poligon regulat.
Corolar. Cercul circumscris despre un poligon regulat înscris în ea și au un centru comun.
1. Centrul de un poligon regulat este numit centrul comun al cercurilor despre acest lucru și poligon înscris în ea.
2. perpendiculara din centrul unui poligon regulat pe partea lui, numit apotemă poligon regulat.