calcul integral. Proprietățile integralei definit
8.2.1. Independența integrala definită a variabilei simbol
Când am fost angajat într-o integrală nedefinită, apoi am arătat că aceeași variabilă este prezentă în înregistrare, iar integrantul și rezultatul integrării. Și a fost un simbol semnificativ. În cazul definit integralei nu este așa:
și anume stânga și dreapta va fi același număr. Prin urmare, desemnarea variabilei de integrare într-o integrală definită nu contează.
8.2.2. Definite integrală cu aceleași limite de integrare
Să considerăm expresia. Ce ar trebui să înțelegem prin acest simbol? Din definiția zonei curbată a trapezului integral definit este zero, adică integrala definită cu aceleași limite de integrare este zero.
8.2.3. Certe de Integrala în funcție de limita superioară
În cazul în care limitele integrale definite de integrare sunt fixe, integrala este egală cu o anumită constantă. Dacă modificați o și b, atunci, și acest număr va varia. Astfel, dacă presupunem că a și b sunt variabile, valoarea integrală este o funcție a acestor două variabile. Să presupunem că o limită inferioară fixă, iar modificările b superioare, atunci integrala este o funcție de aceasta variabilă. Noi Denotă. și anume . Deoarece desemnarea variabilei de integrare este nesemnificativă, presupunem că
Barrow Teorema. Derivata integrala definită ca o funcție de limita superioară egală cu valoarea integrantul la punctul de diferențiere, și anume
8.2.4. Formula Newton-Leibniz
Luați în considerare integrala. Pentru a calcula această integrantă folosind formula fundamentală a teoremei fundamentale :,
și anume pentru a calcula integrala definită a oricărei funcții, este necesar pentru a găsi primitiv și să facă diferența în valorile primitive la limitele superioare și inferioare ale integrării.
Exemplu: Calculați. Primitiv să fie, de exemplu, funcția. Conform formulei Newton-Leibniz, constatăm că
Foarte adesea, în loc de a scrie F (b) -F (a) utilizarea de înregistrare. Apoi formula Newton-Leibniz devine.
8.2.5. Înlocuirea unei variabile în integralei definită
[Matematică Superioară. calcul integral. Calculând integral definit]
Să presupunem acum că avem nevoie pentru a găsi integrantă a formularului Fie * (x) = z, apoi * „(x) dx = dz. Apoi integrandul are forma f (z) dz. Lăsați funcția F (z) are o primitivă pentru funcția f (z). Apoi, în conformitate cu Newton-Leibniz
Exemplu. Calculați. Folosind o schimbare liniară a variabilelor (3x = t, dt = 3DX) și numărare limitele de integrare pentru noua variabilă, în cele din urmă vom obține
8.2.6. Rearanjarea limitele de integrare
Din Formula Teorema fundamentală, rezultă că
Dar acesta din urmă suma nu este nimic altceva asemănător. și anume
=. Noi am demonstrat că modificările integrale definite semneze în cazul în care limitele de integrare.
8.2.7. Divizarea intervalului de integrare
Acum, să presupunem că vom alege de la C, astfel încât un 0 și b> a, și anume integralei unei funcții pozitive este o caracteristică pozitivă. Să considerăm acum două funcții f (x) și q (x), definit la [a, b]. Dacă f (x)
Exemplu. Se calculează utilizarea integrală certă formula de integrare prin părți. Ia timp a fost apoi
Sarcină. Calculati următoarele integralele definite utilizând regulile și exemplele dezasamblate anterior de mai sus.