Raportul se numeste derivata logaritmica a funcției f (x)
Logaritmică Derivatul - un derivat al logaritmul natural al modulului (valoare absolută) - Această funcție:
Folosind formula pentru derivata unei funcții compozită, descoperim că
(*)
derivatul logaritmică utilizat, de exemplu, prin diferențierea (găsirea derivatului sau diferențial) Funcția putere exponențială.
Să ne găsim derivata y = x x. Deoarece LNY = x LNX. ușor de a găsi derivat logaritmică:
Acum, folosind formula (*), obținem:
Derivatul logaritmică are sens economic - raportul dintre rata de schimbare a y (un derivat al său), la cea mai mare valoare a - în rata de schimbare; în cazul în care rata este pozitiv - crește rata de schimbare în cazul negativ - viteza scade.
Funcția derivat definit implicit și parametric.
Funcția dată Implicit
Dacă funcția este dată de ecuația y = ƒ (x) este rezolvată pentru y, funcția specificată în formă explicită (funcția clară).
Prin specificarea implicit funcția realiza funcția de alocare sub forma ecuației F (x; y) = 0 nu este permisă în ceea ce privește y.
La fiecare o funcție y = explicite ƒ (x) poate fi scrisă ca dată implicit de ecuația ƒ (x) y = 0, dar nu și invers.
Nu este întotdeauna ușor și uneori imposibil de rezolvat pentru y (de exemplu, y + 2 + confortabil-1 = 0 sau 2 -x + y = 0).
Dacă funcția implicită definită de ecuația F (x; y) = 0, atunci derivata y în raport cu x este nevoie să se rezolve ecuația pentru y: suficientă pentru a diferenția ecuația pentru x, considerând în acest moment ca funcție de x, iar obținut apoi ecuația de rezolvat pentru y“.
Derivata unei funcții implicite este exprimată în termeni de x și funcția în argumentul.
Găsiți derivata funcției y, dată de ecuația x 3 + y 3 = 0 -3hu.
Soluție: Funcția y este definită implicit. Ecuația diferențiabilă x x 3 + y 3 = 0 -3hu. Din raportul obținut
3 3y 2 + 2 · y '3 (1 + x · y · y') = 0
Rezultă că y-xy 2 = y 2 x t. E. Y „= (y-x 2) / (y 2 -x).
Funcția definită parametric
Să relația dintre argument x si functia y definită parametric sub forma a două ecuații
unde t - variabila auxiliară numită parametru.
Să ne găsi y'x derivat. Considerând că funcția (21.1) și că sunt derivați ai funcției x = x (t) are un t revers = # 966; (x). Conform regulii de diferențiere a funcțiilor inverse
Funcția y = ƒ (x) definit prin ecuațiile parametrice (21.1) poate fi considerată o funcție complexă y = y (t), unde t = # 966; (x). Conform regulii de diferențiere o funcție compozit, avem: y'x = y't • t'x. Având în vedere (21,2), obținem
Această formulă ne permite
y'x găsi derivata unei funcții date
parametric, găsirea nici o dependență directă a lui y pe x.
<<Пример 21.2
Soluție: Avem x't = 3T 2. y't = 2t. În consecință, y'x = 2t / t 2. m. E.
Puteți verifica această constatare în mod direct dependența lui y pe x.
Într-adevăr, atunci la t. E. Funcția 29.Differentsial, forma invarianță diferențiale 1.
Acasă Adx cu partea liniară a funcției a creșterii în definiția diferențiabilității
Df = f (x) - f (x0) = A (x - x0) + o (x - x0), x®x0
Se numește un diferențial al funcției f (x) la x0 și notate
Diferențialul depinde de punctul x0 și prin incremente Dx. La fiecare punct reprezintă o funcție diferențială liniară de trepte Dx.
Când se consideră ca o funcție f (x) = x. obținem dx = dx, dy = AdX. Acest lucru este în concordanță cu notația Leibniz.
Interpretarea geometrică a diferențialului incrementează ca tangenta ordonata.
Invarianță primei forme diferențiale
Dacă x - variabilă independentă, apoi dx = x - x0 (increment fix). În acest caz, avem
t. e. un prim diferential are proprietatea de invarianță în ceea ce privește schimbarea argumentului.
Derivați de ordin superior. F la Leibniz.
Instrumente financiare derivate de ordin superior
Este clar că derivatul
Funcția y = f (x) este de asemenea o funcție de x:
Dacă funcția f „(x) este diferențiabilă, derivatul notat y“ „= f“ „(x) este numit al doilea derivat al funcției f (x) sau un derivat al funcției f (x) de ordinul doi. folosind notația
1. Găsiți derivata a doua a funcției y = x 4
R e w n e: Avem y '= (x 4)' = 4x 3
denumită în continuare: y '' = (y ')' = (4x 3) „= 12x 2
2. Găsiți derivata a doua a funcției y = 3cos (x)
R e w n e: Avem y '= (3cos (x))' = -3sin (x)
denumită în continuare: y '' = (y ')' = (-3sin (x)) „= -3cos (x) 3. Găsiți derivata a doua a funcției y = tg (x)
Soluție: Avem
în continuare:
Este foarte convenabil de a folosi notația
indicând faptul că funcția y = f (x) a fost diferențiat de două ori de x.
Derivatul al doilea derivat, adică Funcția y '= f ''(x). se numește a treia derivata funcției y = f (x) sau un derivat al funcției f (x) reprezintă al treilea ordin și simbolurile
In general, n-lea derivat sau n-lea derivat ordinul funcției y = f (x) este notat cu simboluri
Să presupunem că funcțiile sunt derivabile și împreună cu derivații ei până la ordinul n-lea inclusiv. Aplicarea regulii de diferențiere a unui produs de două funcții obține
Comparați aceste expresii cu grade binom:
Lovirea regulă de potrivire: în scopul de a obține o formulă pentru derivata 1, 2 sau funcția 3rd ordinul a produsului și. (unde n = 1,2,3) derivate de gradul și trebuie înlocuite în expresia ordinelor corespunzătoare. În plus, valorile nivelului de zero și ar trebui să fie înlocuit cu derivați de ordinul zero, semnificația și funcția lor:
.
Rezumând această regulă în cazul unui derivat de ordinul n arbitrar. Obținem formula Leibniz
în cazul în care - coeficienții binomiali: