Prima dovadă a acestei teoreme se datorează Leibniz. Și a deschis această teoremă independent de ferma nu mai târziu de 1683 și a raportat că pentru a aduce dovada Bernoulli exacte. În plus, Leibniz a propus un prototip al formularea Teorema lui Wilson.
Examinarea ulterioară a întrebărilor cu privire la teoria numerelor și teoria congruentelor, Euler a continuat. care a introdus reciprocitate pătratică și teorema lui Fermat generalizată. constatând că
Desemnarea de concept și de caractere comparații a fost introdus de Gauss. ca un instrument important pentru a sprijini teoria de aritmetică, la care a fost a început să lucreze în 1797. La începutul acestei perioade Gauss nu a fost încă opere cunoscute ale predecesorilor săi, astfel încât rezultatele activității sale, astfel cum este prevăzut în primele trei capitole ale cărții sale „cercetare aritmetică“ (1801), au fost în mare parte deja cunoscute, dar metodele pe care le utilizate pentru probe au fost complet nou, cu o mai mare importanță pentru dezvoltarea teoriei numerelor. Folosind aceste metode, Gauss converti toate acumulate să-i informații referitoare la compararea Modulo, într-o teorie coerentă, care a fost prezentat pentru prima dată în aceeași carte. În plus, el a studiat compararea primul și al doilea grad, teoria reziduurilor pătratice și a reciprocității pătratice asociate. [5]
Dacă două numere întregi a și b, când împărțită m dă același rest, ele se spune că sunt comparabile (sau congruența) modulo numărul m [6].
Comparabilitatea numerelor a și b pot fi scrise ca formula (comparație):
Numărul m este numit modulul de comparație.
Determinarea numerelor de comparabilitate a și b modulo m este echivalent cu oricare dintre următoarele afirmații:
Apoi, pe presupunerea că
Operațiuni cu comparații
Comparațiile același modul are multe din proprietățile ecuațiilor convenționale. De exemplu, puteți adăuga, scădea și se multiplică, în cazul în care numărul unui 1. 2. .... a n, o _, \ ldots, a_> și b 1. b 2. .... b n, b _, \ ldots, B_> perechi sunt congruente modulo m. atunci suma lor un 1 + a 2 + ... + a n + a _ + \ ldots + a_> și b 1 + b 2 + ... + b n + b _ + \ ldots + B_>. și un produs 1 2 ⋅ a ⋅. ⋅ a n \ cdot a_ \ cdot. \ Cdot a_> și b 1 b 2 ⋅ ⋅. ⋅ b n \ cdot B_ \ cdot. \ Cdot B_> De asemenea, congruente modulo m:
(A 1 + a 2 + ... + a n) ≡ (b 1 + b 2 + ... + b n) (mod m); + A _ + \ ldots + a _) \ echiv (B_ + b _ + \ ldots + b _)>;> (1 ⋅ a 2 ⋅ ... ⋅ o) ≡ (b 1 ⋅ b 2 ⋅ ... ⋅ bn) (mod m) . \ Cdot a_ \ cdot \ ldots \ cdot a _) \ echiv (B_ \ cdot B_ \ cdot \ ldots \ cdot b _)>.>
În acest caz, nu puteți efectua aceste operații cu comparații, în cazul în care modulele nu sunt aceleași [9].
Prin comparație, ambele părți se pot adăuga același număr c:
Puteți transfera, de asemenea, un număr dintr-o parte în alta comparație cu semnul schimbării:
K oricare dintre unitățile de comparație pot adăuga un multiplu întreg al modulului, adică, în cazul în care numerele a și b sunt modulo congruente unele număr m. apoi a + t 1> este comparabil cu b + t 2> modulo m. unde t 1> și t 2> - sunt multipli întregi arbitrare de m:
De asemenea, ambele părți ale comparației, iar modulul poate fi multiplicat cu același număr, adică, în cazul în care numerele a și b sunt modulo congruente un ıntreg m. numărul și q și b sunt congruente modulo numărul m q. unde q - un întreg:
Prin comparație, cu toate acestea, nu poate, în general vorbind, să împartă între ele sau la alt număr. EXEMPLU: 14 ≡ 20 (mod 6) >>. cu toate acestea, a scăzut cu 2, obținem o comparație eronată: 7 ≡ 10 (mod 6) >>. Reguli pentru reducerea următoarele comparații.
Dacă numărul d nu este la modulul de prime între ele, la fel ca în exemplul de mai sus, este imposibil să se reducă la d.
- Este posibil să se separe simultan cele două părți ale modulului de comparație, și împărțitor lor comună: