Agenția Federală pentru Comunicații
Khabarovsk Institutul de Infocomm (Branch)
Universitatea de Stat din Siberia
Telecomunicații și Informatică
pe „seria numerică și putere“
Dezvoltarea metodologică a temei „seria numerică și putere“ descrie principalele procese ale teoriei seriilor numerice și putere. Definițiile, declarațiile de teoreme. Unele teoreme sunt prezentate cu probele. Prezentarea este însoțită de detaliu proiectat exemple. La sfârșitul fiecărui capitol sunt exerciții.
Dezvoltarea metodică pentru a ajuta pe elevi - elevi de timp Infocomm Khabarovsk Institutul de studiul subiectului.
Compilată de Dr. f. - m n. profesor universitar,
seria 1. Numărul
1.1 Definiția seriei și suma acesteia. Proprietăți ale seriei. Testul necesare pentru realizarea convergenței. Seria geometrică și seria armonica
Să presupunem că avem o secvență de numere pentru orice set finit de numere este posibil să se calculeze următoarele sume. Dacă luăm întreaga secvență, și de a crea o sumă infinită de termeni, care este, vom obține un obiect nou, așa cum noi nu suntem capabili de a găsi suma unui număr infinit de termeni.
1. Determinarea exprimării formei în care - dat numere, numit seria numerică.
Numerele sunt numite membri ai seriei; - n termen al seriei-lea este termenul general al seriei.
Este evident că pentru un număr de sarcini trebuie să cunoască numărul total de membri cu formula sau legea menționată pentru a face cu formula generală termenul.
Definiție 2. Suma primilor n termeni ai seriei se numește n-lea parțială (privată) și suma seriei este notat cu Sn. adică.
Definiție 3. Limita de suma parțială n-lea al seriei, în cazul în care există și este finită, se numește suma seriei, adică. În acest caz, seria numerică se numește convergentă. În cazul în care fie nu există, atunci seria se numește divergente.
Exemplul 1. Găsiți suma seriei.
Rețineți că există o locație
, Sn apoi se rescrie
, prin urmare, că este, seria converge și suma este egală cu 1.
Definiție 4. Numărul de specii se numește o serie geometrică.
Teorema 1. geometrică seria converge și suma este egală cu S și divergenta.
Dovada. Noi da pentru acoperișuri. Este ușor de observat că suma parțială n-lea a formei
Înmulțind cu ecuația q (1), obținem
Din ecuația (1) se scade (2), ieșim de aici
Este cunoscut faptul că, atunci când, în consecință. Apoi, de la acest lucru și (3) presupune.
Pentru seria numerică convergentă au următoarele proprietăți:
Proprietatea 1. Renuntarea orice număr finit de termeni ai seriei nu afectează convergența acesteia.
Proprietatea 2. În cazul în care membrii unei serii convergente, având valoarea S, înmulțit cu numărul de lambda, seria rezultată va converge de asemenea, și numărul de S - valoarea sa.
Proprietatea 3. În cazul în care seria și converg, seria converge, iar suma este egală cu suma algebrică a seriei originale.
Teorema 2. (Testul necesar pentru convergență). În cazul în care seria converge, atunci termenul general al seriei tinde la zero, adică.
Dovada. Conform definiției doi n-lea și (n - 1) th sumă parțială a seriei date au forma. Deoarece seria converge, atunci. Este evident că, așa.
Corolar 1. În cazul în care seria (1) diverge.
De exemplu, ia în considerare un rând. Acolo și apoi seria divergenta.
Definiția. Un număr de specii se numește seria armonica.
Teorema 3. Seria armonică divergenta. Dovada acestui fapt a fost dat mai târziu. În seria armonică, precum și un număr de divergente cu toate acestea.
1.2 Serii cu termeni pozitivi. Semne de convergență, testul de comparație directă, semne de încercare integrală D'Alembert și Cauchy
Definiție 1. Un număr de membri sunt numere non-negativ, numit znakopolozhitelnym din apropiere.
Formulați o serie de caracteristici cu care puteți explora seria znakopolozhitelnye pentru convergență.
Să ne amintim următoarele fapte:
Definiție 2. O secvență este nondecreasing dacă pentru orice n inegalitatea.
Definiție 3. O secvență este limitată, în cazul în care există un număr N> 0, independent de n, astfel încât.
Teorema A. Orice sir marginit non-descreștere are o limită finită.