definiție
Secvența se numește fundamentală. dacă îndeplinește condiția Cauchy. pentru fiecare există un număr întreg pozitiv, astfel încât pentru orice și orice inegalitate. Pe scurt, această condiție poate fi scrisă ca :.
Va da o definiție echivalentă. Secvența se numește fundamentală. în cazul în care pentru fiecare există un număr întreg pozitiv, astfel încât pentru orice și pentru orice inegalitate naturală. Pe scurt, această condiție poate fi scrisă ca :.
Demonstrăm că secvența fundamentală este mărginită. Să presupunem, apoi, în funcție de starea Cauchy există un număr astfel încât pentru toți și pentru toate inegalitatea și, în special. Din moment ce pentru toți, pentru toată inegalitatea în cazul în care. Acest lucru înseamnă că - secvența delimitată.
Teorema (testul Cauchy)
Secvența are o limită finită, dacă și numai dacă a fost fundamentală.
nevoie
Să presupunem că secvența are o limită finită. Am stabilit-l egal. Prin definiție, o limită la care inegalitatea. Să presupunem, atunci. Să presupunem, atunci. În virtutea sumei modulului (diferența), obținem. În consecință, pentru toate și pentru toate inegalitatea, adică. E., Condiția Cauchy.
suficiență
Să - secvența fundamentală. Arătăm că are o limită finită. Prin definiție, secvența de inegalitate fundamentală. Deoarece secvența fundamentală este mărginită, pe teorema Bolzano-Weierstrass. conține convergent. Să limita este, m. F .. Noi arată că numărul este limita secvenței originale. Prin definiție, limita. . Să. Am să stabilească un număr (astfel de număr nu există, deoarece atunci când). Apoi, când și pentru toate inegalitatea. Din aceasta rezultă că pentru toate inegalitatea :. Ie ..
Demonstrați că secvența diverge.
evidență
necesitatea de a:
Să presupunem că secvența are o limită finită. Demonstrăm că este fundamental.
Să presupunem că, prin definiție, limita unei secvențe:
Din moment ce arbitrar, atunci putem lua locul lui, de exemplu:
Adică, ceea ce înseamnă că - prin definiție fundamentală.
Necesitatea este demonstrată.
suficiență:
Să - secvența fundamentală. Arătăm că are o limită finită. În primul rând ne arată că - limitat.
Ca - o secvență fundamentală, apoi prin definiție secvența fundamentală:
și
Din moment ce arbitrar, atunci vom lua
Să presupunem, ne arată că numărul $ a $ și va limita întreaga secvență:
Deoarece fundamentale:
Deoarece convergentă:
Să luăm, atunci:
Să demonstrăm că secvența nu este fundamentală.