În acest moment, acesta este un criteriu important pentru secventa convergentă, atunci o condiție necesară și suficientă pentru existența unei limite finite ei. Criteriul importanță și originalitate este că, atunci când nu este implicat în verificarea valorii limită. Formularea acestui criteriu și conceptul de secvența fundamentală este utilizată atunci când se lucrează cu el.
Determinarea secvenței fundamentale
secvență numerică numită o secvență fundamentală în cazul în care îndeplinește condiția următoarea: pentru fiecare număr există un număr. că, pentru toți și pentru toate inegalitatea
Această condiție se numește condiția Cauchy. Acesta poate fi, de asemenea, scris după cum urmează:
O interpretare geometrică a condiției Cauchy este că membrii unei secvențe de bază cu un număr suficient de mari sunt arbitrar apropiate unul de altul, deoarece distanța dintre oricare doi membri ai secvenței este mai mică decât orice număr mic. în cazul în care numărul de membri ai mai mult.
Teorema (Cauchy criteriu de convergență secvență)
Pentru secvența are o limită finită, dacă și numai dacă îndeplinește condiția Cauchy, care este fundamentală.
Să presupunem că secvența este convergentă și are ca limita numărul. Apoi, prin definiție, au o limită finită care
Prin urmare, dacă luați și.
adică, atunci când și. ceea ce înseamnă că secvența fundamentală. Astfel, se dovedește că, dacă o secvență converge, este fundamentală.
Să presupunem acum că secvența este fundamentală. Să ne dovedi că converge. Dovada se realizează în două etape.
Etapa 1. Demonstrati ca este limitat.
Într-adevăr, în conformitate cu condiția Cauchy pentru, puteți specifica un număr. că inegalitatea și când. În special, această inegalitate trebuie să fie îndeplinite pentru. atunci
adică o parte a secvenței - numere este limitat. Prin urmare, este evident că este limitată și toată secvența fundamentală.
Etapa 2. Conform teoremei Bolzano secvenței Weierstrass-limitate
puteți extrage întotdeauna un convergent. asa. în cazul în care, atunci când.
Noi acum arată că numărul este limita tuturor secvențelor fundamentale. Într-adevăr, pentru același număr de a scrie condiția Cauchy pentru:
Acum vom alege un subsir în număr, astfel încât inegalitatea (acest lucru se poate face în virtutea faptului că, în). Apoi, starea Cauchy când și dacă avem că
,
și anume pe baza condițiilor Cauchy compilate estimare a diferenței dintre membrii unitare ale secvenței și subsecventa sale convergente.
Acest lucru înseamnă că există o secvență fundamentală limită finită. și anume skhoditsya.v
Exemplu (convergență secvență dovada criteriului Cauchy)
Utilizarea criteriului Cauchy dovedi convergență secvență. dacă
este suficient pentru a arăta că secvența este fundamentală, și anume această condiție vypolnyatesya Cauchy pentru ea:
Rețineți că această condiție înseamnă
și estimează pentru acest lucru:
În continuare, vom folosi pentru a estima ultima expresie a inegalității evidente
Cu toate aceste estimări obținem că
Trecerea la limita în ambele părți ale acestei inegalități pentru:
dar limita pe partea stângă a negativ nu poate fi, deoarece; astfel încât rămâne să concluzioneze că
Coerența este fundamentală, în consecință, converge.
5.5. Exercitii pentru munca independentă
secvență de înregistrare. selectați convergent de la ea, dacă este limitat, secvență sau infinit de mare, în cazul în care nemărginit:
Utilizarea criteriului Cauchy demonstrează convergența secvențelor. în cazul în care:
.
Răspunsuri la exercițiile de muncă independentă
1) - limitată din cauza la
. . ;
3) - limitată, deoarece
;
;
4) - nelimitat, dar nu infinit de mare