Definirea și dimensiuni subspatiului
Determinarea 6.1.PodprostranstvomL R n spațiu -dimensional este setul de vectori care formează un spațiu liniar în ceea ce privește acțiunile care sunt definite în R.
Cu alte cuvinte, L R. numit un subspațiu al spațiului dacă x, y ∈L rezultă că x + y ∈L și dacă x ∈L. apoi λx ∈L. în cazul în care λ - orice număr real.
Cel mai simplu exemplu este un subspațiu nul al subspatiului, adică R. submulțime spațiu format dintr-un singur element de zero. Subspatiul poate servi întregul spațiu R. Acest subspațiu se numește triviale sau necorespunzătoare.
Subspațiul n-dimensional spațiu este finit-dimensional, iar dimensiunea sa nu depaseasca n: L≤ dim dim R.
Suma și subspațiul intersecție
Fie L și M - spațiu R două subspații.
CummoyL + M este multimea vectorilor x + y. unde x și y ∈L ∈M. In mod evident, orice combinație liniară L + M aparține L + M. Prin urmare, L + M este un R subspațiul (poate coincide cu spatiul R).
PeresecheniemL ∩M Subspatii L și M este mulțimea de vectori, ambele aparținând subspații L și M (pot consta numai vectorul zero).
Teorema 6.1. Cantitatea de dimensiune arbitrară subspații L și spațiu liniar dimensional M dimensiunii R este suma acestor subspații și dimensiunea de intersecție a acestor subspații
dim L + dim M = dim (L + M) + dim (L∩M).
Dovada. Fie F = L + M și G = L∩M. Să subspatiu G g-dimensional. Am ales aceasta bază. Deoarece G ⊂L și G ⊂M. prin urmare, baza G poate fi extinsă la o bază de L și la o bază de M. Să baza subspatiului L și lăsați baza subspatiului M. Noi arată că vectorii
formează o bază F = L + M. Pentru vectorii (6.1) formează o bază de F acestea ar trebui să fie liniar independent, orice spațiu vectorial F poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a vectorilor (6.1).
Dovedim independența liniară a vectorilor (6.1). Lăsați vectorul de zero spațiu F este o combinație liniară a vectorilor (6.1) cu niște coeficienți:
liniar independente. Dar orice vector z în F (prin definiție, suma subspațiul) poate fi reprezentat ca suma x + y. unde x ∈L, ∈M y. La rândul său, x este reprezentat printr-o combinație liniară a vectorilor y - o combinație liniară a vectorilor. În consecință vectori (6,10) generează subspațiul F. au primit vectorii (6.10) formează o bază de F = L + M.
Studiind bazele subspaiilor L și M și baza subspațiul F = L + M (6.10), avem: dim L = g + l, dim M = g + m, dim (L + M) = g + l + m. Prin urmare:
dim L + dim M-dim (L∩M) = dim (L + M). # 9632;
sumă directă de subspatii
Definiția 6.2. Spațiul F este o sumă directă a subspaiilor L și M. dacă fiecare vector spațiu F x poate fi singura cale este reprezentata ca suma x = y + z. unde y ∈ L și z ∈M.
Suma directă este desemnată L ⊕M. Se spune că, dacă F = L ⊕M. atunci F este o sumă directă de subspații L și M. sale
Teorema 6.2. spațiu pentru n R este -dimensional suma directă a subspaiilor L și M. suficient la intersecția L și M conținea doar elementul de zero, și că dimensiunea R a fost egală cu suma dimensiunilor subspațiile L și M.
Dovada. Am ales o bază în subspațiu L și o bază în subspațiul M. Vom demonstra că
este o bază de R. spațiu Prin ipoteză, dimensiunea spațiului R n egal cu suma subspaiilor L și M (n = l + m). Este suficient să se dovedească faptul că elementele (6.11). Să zero, spațiu vectorial R este o combinație liniară a vectorilor (6.11) cu niște coeficienți: