Definiția. Baza pe un plan (în spațiu) este o pereche ordonată (triplet) noncollinear (necoplanare) vectori. Orice vector descompus în mod unic în baza. Coeficienții de dilatare se numesc coordonatele vectorului în raport cu baza dată. Vectorii formează o bază în coordonate carteziene Oxyz spațiu.
vectori dat. Arătați că vectorii formează o bază pentru avionul, și pentru a găsi coordonatele vectorului în această bază.
Decizie. Dacă doi vectori colineare (), ele formează o bază pentru avion. Deoarece vectorii și coliniar și, prin urmare formează o bază. Să presupunem că în acest vector bază are coordonate, atunci descompunerea vectorului vectorilor și ia forma, sau sub formă de coordonate
Determinată pentru a obține ecuațiile în orice sistem de mod, vom găsi că.
Mijloace. Astfel, în vectorul bază are coordonate.
Scalar, vector, produs în amestec de vectori.
Definiția. produsul scalar a doi vectori este un număr definit de ecuația:
unde - unghiul dintre vectorii și. În cazul în care, atunci.
Știind produsul scalar, se poate determina unghiul dintre doi vectori folosind formula :.
Condiții perpendicularitate vectori nenuli (unghiul dintre ele este de 90 °) este: sau, și starea coliniaritate sau.
Proprietățile produsului scalar:
1); 2); 3); 4) și.
Exemplul 2. Găsiți unghiul dintre vectorii și, dacă este ,.
Decizie. Noi folosim formula. Pentru a determina coordonatele vectorilor și, având în vedere că adăugarea vectorului vom adăuga aceeași poziție nume și în multiplicarea unui vector de un număr - acel număr se înmulțește cu fiecare coordonată a vectorului și :.
Noi găsim produsul interior al vectorilor și lungimea lor. ,,. Substituind formula obține. Aici.
Definiția. Vector produs al unui vector este un vector (o altă denumire) care:
a) are o lungime, în care - unghiul dintre vectorii și;
b) perpendicular pe vectorii și () (adică perpendicular pe planul în care se află vectori);
c) este direcționat astfel încât vectorii, vectorii formează un dreptaci, adică la sfârșitul celui de al treilea cel mai scurt rotație vector de la primul la al doilea vizibil invers acelor de ceasornic (figura 2).
Coordonatele produsului vectorial al unui vector definit prin formula:
Sensul geometric al produsului mixt al: volumul unui paralelipiped format de vectorii, (Figura 4), iar volumul piramidei triunghiulare formate de acestea sunt în conformitate cu formulele.
Exemplul 4. Sunt vectorii sunt coplanare ,,?
Decizie. Dacă vectorii sunt coplanari, apoi de proprietate 4) produsului mixt este zero. Verifică-l. Să ne să găsim mixte vectori de date de produse prin calcularea determinantului:
diviziune segment în acest sens.
Lăsați segmentul în spațiul Oxyz punctul dat. În cazul în care este împărțit în raport cu punctul, coordonatele următoarele puncte:
Exemplul 5: Găsiți punctul în care împarte segmentul în ceea ce privește cazul în care.
Decizie. Definim coordonatele punctelor:
Ecuația planului. Ecuația generală a planului are forma :, unde - vectorul normal al planului (adică perpendicular pe planul), iar coeficientul este proporțională cu distanța de la origine la planul.
Ecuația planului care trece prin punctul perpendicular pe vectorul are forma
Ecuația planului care trece prin cele trei puncte specificate, și are forma:
Unghiul dintre cele două planuri și vectori normali având este definit ca unghiul dintre vectorii și formula:
Distanța de la punctul de la planul se calculează cu formula.
Exemplul 6. Scrieți ecuația planului care trece prin punctele ,,.
Decizie. Noi folosim planul ecuație care trece prin cele trei puncte specificate. Calculăm determinantul
, sau - planul ecuația dorită.
Ecuația unei linii drepte în avion. Ecuația generală a unei linii în planul are forma: unde - vectorul normal al liniei drepte (linia perpendiculară), iar coeficientul este proporțională cu distanța de la origine la linia.
Ecuația dreptei care trece printr-un punct dat este dat de
Într-o altă formă, în cazul în care - tangenta unghiului format de linia dreaptă și direcția pozitivă a axei Ox, numit panta b - ordonata punctului de intersecție cu axa dreaptă Oy.
Ecuația liniei care trece prin cele două puncte date, și are forma
Unghiul dintre cele două linii drepte este determinată prin formula
Distanța de la punctul de la linia este dată de
Exemplul 7. Având în ecuația cele două laturi ale dreptunghiului, iar ecuația diagonalele sale. Scrieți ecuațiile
celelalte laturi și a doua diagonala dreptunghiului.
Decizie. Facem desen schematic (Figura 6). Noi rescrie aceste ecuații în formă:,. Deoarece pantele liniilor care definesc laturile dreptunghiului sunt aceleași, aceste ecuații definesc linii paralele, adică partea situată la ei, sa opus. Vom găsi punctul intersectându diagonalei cu aceste părți. Să fie punctul și. Pentru aceasta echivala mai întâi 1 și 3, atunci ecuația 2 și 3:
laturile neidentificați sunt paralele între ele și perpendiculare pe datele (deoarece acest dreptunghi).
Notă. Pantele liniilor perpendiculare și sunt legate.
Astfel, ecuația de laturi necunoscute ale dreptunghiului după cum urmează:
. Substituind în prima ecuație a coordonatele punctului, al doilea - punct, obținem că și, prin urmare ,.
Găsim coordonatele punctelor și laturile respective egalează ecuația:
Ecuația diagonală obține ecuația o linie dreaptă care trece prin cele două puncte dat și:
o ecuație linie dreaptă în spațiu. Direct în spațiu Oxyz este definit ca intersecția dintre cele două planuri (ecuația liniei generale în spațiu).
Ecuațiile canonice directe în spațiu au forma
unde - punctul prin care linia dreaptă, și un vector paralel cu o linie dreaptă dată, numit ghidajul vector direct.
ecuația liniei în spațiul care trece prin cele două puncte și au Având în vedere forma
Unghiul dintre cele două ghidaje drepte cu vectorii și determinate prin formula
Exemplul 8 piramidă setează coordonatele nodurilor sale ,. Doriți să găsiți:
1) lungime și coaste; 2) unghiul dintre aripioarele și; 3) suprafața feței care conține vârfurile; 4) Volumul piramidei; 5) direct și ecuații;
6) înălțimea ecuației coborâtă dintr-un nod într-un plan;
7) distanța de la vertexul la planul; 8) unghiul dintre coaste și fața care conține vârfurile.
Reshenie.1) lungimile muchiilor și este definită ca vectorii unitare și formulele;
2) Găsiți coordonatele vectorilor și:
Lungimile acestor vectori, adică, lungimi de margine și sunt după cum urmează :,
. Cosinusul unghiului dintre nervurile și se calculează cu ajutorul formulei;
3) Suprafața (triunghi) este egal cu jumătate din suprafața paralelogramului format de vectorii și, adică jumătate din modulul produsului vectorial al vectorilor, care este egal cu
4) Volumul piramidei este.
5) Ecuațiile și pentru a găsi direct ca ecuațiile de linii drepte care trec prin cele două puncte de date:
() (Punctele abscisei și identice);
vector 6) este direcționat este un plan normal înălțime vector. Noi obținem ecuația planului:
- ecuația planului. Apoi, vectorul normal al planului are coordonatele. ecuația canonică dreaptă care trece prin paralelă cu vectorul are forma;
7) Pentru a calcula distanța de la vertexul la planul de utilizare a formulei. În cazul nostru - și ecuația planului. Deci;
8) Unghiul dintre linia dreaptă și planul este găsit de formula:
, unde - vectorul normal al planului. și (a se vedea. p.7). Astfel,