Teoria probabilităților - o știință matematică care studiază legile fenomenelor aleatorii de masă (evenimente).
eveniment aleator (sau eveniment) este orice fenomen, care poate sau nu poate să apară atunci când punerea în aplicare a unui anumit set de condiții. teoria probabilităților se ocupă cu evenimente care au un caracter de masă. Acest lucru înseamnă că setul de condiții număr nelimitat de ori pot fi reproduse. Fiecare astfel de punere în aplicare a acestui set de condiții este numit testul (sau experienta).
De exemplu, în cazul în care testul este aruncarea unei monede, pierderea emblemei este un eveniment; în cazul în care testul - producția acestui tip de rulment, conformarea rulment - un eveniment; în cazul în care testul - .. aruncarea zaruri, adică un cub, pe fețele care poartă numere (puncte) de la 1 la 6, la pierderea de cinci - eveniment.
Evenimentele vor fi notate cu litere latine majuscule: A. B. C.
Să presupunem că pentru n cazul în care un test de m ori a apărut.
Raportul m / n se numește frecvență (frecvența relativă) a evenimentului A și notat cu P * (A) = m / n
Experiența arată că, în repetate frecvență de încercare P * (A) este rezistent la un eveniment aleator. Să ne explicăm acest lucru cu un exemplu.
Evenimentul este numit autentic. în cazul în care este necesară în acest test trebuie să aibă loc; Pe de altă parte, eveniment nazyvaetsyanevozmozhnym. în cazul în care acesta este într-un anumit experiment nu poate avea loc.
Să presupunem, de exemplu, dintr-o urnă care conține numai bilele negre, mingea este eliminat. Apoi, apariția bila neagră - un anumit eveniment; aspectul unei bile albe - eveniment imposibil.
În cazul în care evenimentul este sigur, se va întâmpla în fiecare test (m = n). Prin urmare, frecvența unui anumit eveniment este întotdeauna unul. Dimpotrivă, în cazul în care acesta este un eveniment imposibil, atunci nu este într-un studiu clinic nu sa materializat (m = 0). Prin urmare, frecvența evenimentelor este imposibilă în orice serie de testare este zero. Prin urmare, probabilitatea ca un anumit eveniment este egal cu una, și probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
În cazul în care evenimentul A nu este nici încredere, nici imposibil, m / n frecvență pentru un număr mare de teste vor diferi puțin de la un anumit număr p (unde 0
Combinarea (sau produs) a două evenimente A și B este evenimentul care constă într-o abordare comună a evenimentelor și evoluțiilor A. B. Acest eveniment va fi notat cu AB sau BA.
In mod similar, combinarea mai multor evenimente, cum ar fi A. B și C se numește eveniment D = ABC. care constă în apariția în comun a evenimentelor A. B și C.
Association (sau suma) a două evenimente A și B este S. eveniment constând care are loc cel puțin unul dintre evenimentele A sau B. Acest eveniment este denumit după cum urmează: C = A + B.
Combinarea mai multor evenimente se numește un eveniment, care constă în apariția a cel puțin una dintre ele. Înregistrare D = A + B + C înseamnă că evenimentul este unirea evenimentelor D A. și C.
Două evenimente A și B, se spune că sunt inconsistente în cazul apariției evenimentului A exclude apariția evenimentului B. Acest lucru implică faptul că, dacă evenimentele A și B se exclud reciproc, evenimentul AB - imposibilul.
Luați în considerare următorul exemplu. Vom urmări mișcarea oricărei molecule de gaz special, închis într-un anumit volum. În cadrul acestui volum, și selectați volumul. se suprapun parțial între ele (fig. 1). Lăsați evenimentul A - a lovit molecule în volum. Evenimentul - a lovit molecule în volum. Evenimente de înregistrare A și B este un hit în partea generală a moleculei și volumele. În cazul în care sumele și nu au puncte în comun, este clar că evenimentele A și B se exclud reciproc. Evenimente de asociere A și B este un hit sau o moleculă numai în măsura sau numai în volum. sau în partea lor comună.
Fie A și B - două evenimente care se exclud reciproc, iar în studiile n evenimentului A avut loc m1 ori, iar evenimentul a avut loc în vremuri m2. Apoi, frecvența evenimentelor A și B sunt respectiv egale cu P * (A) = m1 / n. P * (B) = m2 / n. Având în vedere că evenimentele A și B se exclud reciproc, atunci evenimentul A + B a avut loc m1 + m2, timp în această serie de experimente. Prin urmare,
Astfel, frecvența evenimentului A + B este egal cu suma frecvențelor evenimentelor A și B. Cu toate acestea, la frecvențe înalte n P * (A). P * (B) și P * (A + B) diferă puțin de la probabilitatea corespunzătoare P (A). P (B) și P (A + B). Prin urmare, este firesc să presupunem că, dacă A și B - eveniment incompatibil, atunci P (A + B) = P (A) + P (B)
Cele de mai sus dă naștere la următoarele proprietăți de probabilitate pe care le acceptăm ca axiome.
Axioma 1. Fiecare eveniment aleator A corespunde unui anumit număr de P (A), numită și probabilitatea satisfăcătoare acesteia.
Axioma 2.Veroyatnost anumit eveniment este egal cu unu.
Axioma 3 (adăugarea probabilităților axiomei). Fie A și B - sunt evenimente incompatibile. Apoi, probabilitatea de ceea ce se va întâmpla cel puțin una dintre aceste două evenimente este egală cu suma probabilităților lor:
Toate subiectele acestei secțiuni:
probabilitate condiționată. Teorema de multiplicare a probabilităților.
Multe probleme trebuie să găsească probabilitatea intersecției de evenimente A și B, dacă știți probabilitățile de evenimente A și B. Luați în considerare următorul exemplu. Să aruncat etc.
Formula probabilității totale.
Fie evenimentul poate avea loc doar cu unul dintre evenimentele care se exclud reciproc H1, H2. Hn, formând un grup complet. Apoi, dacă a existat un eveniment A,
Secvența de testare. FORMULA Bernoulli.
Să presupunem că n testele independente efectuate, ca urmare a fiecăruia dintre care poate sau nu poate avea loc un eveniment A. Să presupunem că, pentru fiecare proces probabilitatea de noi
Discretă variabile aleatoare.
Luați în considerare variabila aleatoare *. valorile posibile care formează un posl finit sau infinit
Funcția de distribuție a variabilei aleatoare și proprietățile sale.
Luați în considerare funcția F (x) definită pe axa reală întreg, după cum urmează: pentru fiecare valoare x F (x) este probabilitatea ca o variabilă aleatoare discretă
Repartizarea uniformă.
Lăsați segmentul [a, b] axa Ox este o scală a dispozitivului. Să presupunem că probabilitatea de a obține un pointer la un segment al scalei este proporțională cu lungimea acestui segment nu depinde de m
Distribuția normală.
Ei spun că variabila aleatoare este distribuit în mod normal, sau distribuția este supusă legii
Cele două dimensiuni variabile aleatoare.
De multe ori este necesar pentru a rezolva problemele care privesc evenimentele descrise nu este una, ci mai multe - în special, cele două variabile aleatoare. Deci, în cazul în care timbrele mașină-mașină cilindric Insulele
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare și proprietățile sale.
Să considerăm mai întâi exemplul următor. Să planta a primit un lot format din rulmenți N. În acest caz: m1 - numărul de rulmenți cu un diametru exterior x1
Funcții liniare ale variabilelor aleatoare.
Să - distribuite în mod normal, variabila aleatoare cu parametrii
Lema Cebîșev.
În această secțiune demonstrăm următoarele două leme care aparțin Cebîșev * Lema 1. Fie
legea Cebîșev a numerelor mari.
Următoarea afirmație deține. Să - o secvență de pairwise independente aleatoare
legea Bernoulli a numerelor mari.
Să o secvență de teste independente efectuate, ca urmare, fiecare dintre acestea pot sau nu pot avea loc evenimentul A, probabilitatea acestui eveniment este una, și așa mai departe
Teorema Lyapunov.
De multe ori trebuie să se confrunte cu astfel de variabile aleatoare, care este suma unui număr mare de variabile aleatoare independente. În anumite condiții foarte generale, se pare că această sumă IME
Legea de bază a greșeli.
Când facem o măsurătoare, atunci rezultatul afectează un număr mare de factori, care dau naștere la erori de măsurare. Erorile de măsurare pot fi în principal, împărțite în trei grupe: 1)
Determinarea unei funcții de distribuție necunoscută.
Să presupunem că avem de-a face cu variabile aleatoare continue. valori care au fost obținute din observații. Ra
Determinarea parametrilor necunoscuți ai distribuției.
C folosind histograma putem complot aproximativ distribuția densității variabile aleatoare
Analiza corelatiei liniară a datelor experimentale.
Una dintre sarcinile statisticii matematice este de a studia corelația dintre variabile aleatoare. Fie n experimente realizate, ceea ce a determinat au fost obținute următoarele valori