Un sistem de ecuații liniare ale formei
Să considerăm un sistem de \ (m \) ecuatii algebrice liniare cu \ (n \) necunoscutele, \ [a_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_1, quad \ quad (28) \] \ [a_x_1 + a_x_2 + \. + A_x_n = B_2, quad \ quad \ (29) \] \ [. \] \ [A_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_m, \ quad \ quad (30) \]
Coeficienții de matrice ale matricei sistemului se numește \ [A = \ stânga (\ începe a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \ end \ dreapta). \] Forma laturile drepte ale coloanei sistemului \ [B = \ stânga (\ începe b_1 B_2 \ ldots b_m \ end \ dreapta) ^ T. \]
Definiția. Sistemul de ecuații (28) - (30) se numește un set de numere \ (x_1, x_2 x_n \.), Care atrage toate aceste ecuații în ecuația când sunt substituite în ecuație.
Definiția. Sistemul de ecuații (28) - (30) se numește omogen. în cazul în care coloana de cea din dreapta a zero. În cazul în care coloana \ (B \) non-zero, sistemul se numește eterogen.
In general, sistemul de ecuații (28) - (30) nu poate avea soluții.
Exemplu. Să considerăm sistemul de ecuații \ [x_1 + x_2 = 1, \] \ [x_1 + x_2 = 2. \]
Este clar că nu are soluții.
În plus, sistemul de ecuații liniare pot avea infinit mai multe soluții.
Exemplu. Să considerăm sistemul de ecuații \ [x_1 + x_2 = 0. \]
Este evident că acest sistem este unul dintre ecuațiile pentru cele două necunoscute are infinit mai multe soluții.
În plus, rezultă din teorema lui Cramer, sistemul de ecuații poate fi singura soluție. Astfel, este necesar să se dezvolte o teorie care permite să afle în termeni generali, atunci când sistemul este în contradicție atunci când aceasta are o soluție, și modul în care se face, și să asigure un aparat care permite construirea acestor soluții.
Metoda Gauss permite o abordare unică pentru a construi soluții ale unui sistem arbitrar de ecuații algebrice liniare. Punctul de plecare este construirea unei matrice extinse, care se obține după cum urmează: un sistem cu matrice coeficient \ (A \) se adaugă în coloana din dreapta a laturilor drepte \ (B \). În același timp, există un natural unu la unu corespondență: fiecare rând al matricei augmented sistemului corespunde ecuației.
Metoda Gauss' se bazează pe următoarele considerații simple de: există sistem de conversie de ecuații care nu se schimba setul de soluții ale sistemului. Vom enumera aceste modificări cu o indicare a modului în care acestea afectează matricea augmentată.
1. ecuațiile permutare (rânduri de permutare matrice expandat).
2. Inmultiti numărul de ecuații nenuli (rânduri de multiplicare matrice extins la un număr întreg non-zero).
3. Scadere una de cealaltă ecuație înmulțită cu un număr arbitrar (scăderea din linia extinsă a unui alt rând al matricei înmulțit cu un număr arbitrar).
4. Rearanjarea două necunoscute (cu necesitatea de a inversa schimbarea variabilelor) (coloana extinsă permutare matrice).
Acum vom descrie procedura de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Acesta include două etape: înainte și invers.
1. Direct cursul metodei Gauss. Noi scriem ecuațiile de matrice extinse, \ [A = \ stânga (\ începe a_ a_ a_ \ ldots a_ b_1 \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ B_2 \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ b_m \ end \ dreapta). \] Și descoperim printre numerele \ (a_ \) un număr diferit de 0. O transpunere de rânduri și coloane pentru a muta la numărul poziției \ ((1,1) \), \ [A \ mapsto \ stânga (\ începe o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ dreapta). \] Apoi, a doua, a treia și următoarele linii scade primul cu un factor corespunzător, astfel încât, în numărul \ (a ^ \) a apărut la zero elemente, \ [A \ mapsto \ stânga (\ începe o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ dreapta). \] Apoi, o parte din matriță, fără a include primul rând și ultima coloană, din nou, în căutarea unui element \ nenul (a ^ \) și permutării rânduri și coloane, se plasează în poziția \ ((2,2) \) \ [A \ mapsto \ stânga (\ începe o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ dreapta). \] Scăzând al doilea rând de toți multiplicatorii ulterioare cu obținerea adecvată 0 în toate elementele care stau în \ (a ^ \) \ [A \ mapsto \ stânga (\ începe o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ dreapta). \] Apoi, o parte a matriței, fără a include primul și al doilea rând și ultima coloană, din nou, în căutarea unui element \ nenul (a ^ \) și permutării rânduri și coloane, se plasează în poziția \ ((3,3) \), și așa mai departe. d. Continuând procedura noastră, transformăm matricea originală într-o matrice având o formă „trapezoidală“: diagonala principală a matricei sunt într-un element de zero, iar sub diagonala principală - zero. Procedura noastră se va opri atunci când 1) vom ajunge la „partea de jos“ a matricei, sau 2), va fi imposibil de a găsi un element non-zero, printre liniile rămase, care este, liniile rămase conțin numai zerouri (cu posibila excepție a ultimei coloane!). În acest accident vascular cerebral înainte Gauss se termină. Rezultatul său este matricea transformată.
2. Revers metoda Gauss. Luați în considerare construite cu grijă în matricea etapa anterioară. După cum sa menționat mai sus, fiecare rând reprezintă ecuația matrice construită care în mod unic pe ea este restabilită. Astfel, este necesar să se rezolve un sistem de ecuații corespunzătoare matrice, construit ca rezultat al metodei de eliminare Gauss. Următoarele situații sunt posibile.
a) Cuprinde o linie formată din zerouri cu excepția ultimelor elemente de coloană care nu sunt zero \ [A \ mapsto \ stânga (\ începe o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 o ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 0 \ ldots 0 b ^ * \ final \ dreapta). \] \ (B ^ * \ neq 0 \). După cum sa menționat mai sus, fiecare astfel de rând al matricei corespunde ecuației în acest caz - o ecuație cu coeficienți de zero, partea dreapta care nu este zero. Astfel, în acest caz, sistemul original de ecuații este inconsistente.
b) matricea rezultată conține un șir complet nul. Aceste linii corespund ecuației \ trivială (0 = 0 \), acestea pot fi șterse. Mai mult, \ (r \), numărul elementelor nenule de pe principala sa diagonalei egală cu rangul coeficienților de matrice ale sistemului original de ecuații. În acest caz, există 2 situații:
b1) \ (r = n \) - rangul matricei este egal cu numărul de necunoscute. Această situație Cramer teoremă, atunci când există doar o singură soluție a sistemului. Conform construcției matricei este un sistem redus de ecuații, care se rezolvă de jos în sus. La fiecare pas, ecuația este banală.