În acest articol, vom lua în considerare polyominoes - forme compuse din pătrate unicelulare, astfel încât fiecare pătrat este adiacentă cu cel puțin una adiacentă având o latură comună cu el.
Probleme cu polyominoes foarte caracteristice ale geometriei combinatorii - ramura matematicii care se ocupă cu aranjamentul reciproc și o combinație de forme geometrice. Este foarte frumos, dar încă nu prea dezvoltată ramură a matematicii, deoarece metodele comune în ea, aparent, metode foarte puțin, și acum cunoscute atât de primitiv, care nu se pretează la o îmbunătățire. Multe apar în practică importante probleme de inginerie - in special cele asociate într-un fel sau altul, cu un aranjament optim al cifrelor date de formă - în esență, se referă la geometria combinatorie.
In problemele combinatoriale ulterioare, se presupune că polyominoes poate fi rotit (adică, rotite cu 90, 180 sau 270) și oglindă reflectă (rotire), fără a schimba formele cifrelor înseși.
Domino este format din două pătrate și poate avea doar o singură formă - forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 1 x 2 (a se vedea figura 1 ..). Prima problemă asociată cu domino multe probabil familiar: dat o tablă de șah, din care se taie o pereche de colțuri opuse ale celulelor și caseta de domino, fiecare dintre care acoperă exact două celule de tablă de șah (vezi figura 2 ..). Este posibil să acopere întregul bord cu 31 de domino (fără celule libere și suprapuneri)? Răspunsul citește: „NU“ și are o dovadă remarcabilă. Checkerboard 64 cuprinde alternante celule albe și negre colorat (referindu-se la un joc de șah bord colorare convenționale). Fiecare poziție pe o masă și care acoperă două pătrate adiacente de domino acoperă unul alb și unul cutie neagră, și n domino - n alb și negru n câmpuri, adică, în egală măsură de ambele. Dar, cum se arată în figura de tablă de șah conține mai multe celule de culoare decât alb, astfel încât este imposibil să se acopere oasele de piese de domino. Acest rezultat este tipic teorema de geometrie combinatorică.
Tromino (sau triomino) - polyominoes treilea ordin, adică, un poligon obținut prin combinarea a trei pătrate egale, părțile legate între ele. Dacă rotații și imagini în oglindă nu sunt considerate diferite forme, există doar două „libere“ formă tromino (vezi Fig.3.): Direct (în formă de I) și unghiulară (în formă de L).
Cu tetraminoes legate de multe probleme în compilarea acestor forme diferite. Este dovedit faptul că să se stabilească un dreptunghi de un tetraminoes set complet imposibil. Dovada folosește vopsea într-un model de tablă de șah. Toate tetraminoes. cu excepția unei formă de T, cuprind două negru și două celule albe și T-tetramino - 3 celule de aceeași culoare și o altă celulă. Prin urmare, orice forma unui tetramino set complet (vezi. Fig.4) de celule va conține o singură culoare, cu două mai mult decât celălalt. Dar orice dreptunghi cu un număr par de celule, conține un număr egal de celule albe și negre.
Polyominoes care acoperă cinci celule ale tablei de șah, numit Pentamino. Există 12 de specii Pentamino. care pot fi notate prin litere latine de capital, așa cum este indicat în figură (vezi. fig. 5). Calitatea recepției pe care îl face ușor de reținut aceste nume, observăm că scrisorile relevante constituie sfârșitul alfabetului (TUVWXYZ) și introduceți numele filipineză. Deoarece există un total de 12 Pentamino diferite și fiecare dintre aceste cifre se referă la cinci celule, apoi împreună acoperă 60 de celule.
Cea mai frecventă problemă de Pentamino - să se stabilească toate cifrele, fără suprapuneri sau lacune, un dreptunghi. Deoarece fiecare dintre cele 12 figuri include 5 pătrate, zona dreptunghi 60 trebuie să fie pătrate izolate. Există dreptunghiuri x 10 6, 5 x 12 4 3 x 15 și x 20 (vezi. Fig. 6).
În cazul 6 × 10 această sarcină a decis pentru prima dată în 1965, John Fletcher. Există exact 2339 în diferite ambalaje Pentamino dreptunghi x 10 6, cu excepția rotațiile și reflecții ale întregului dreptunghi, dar excluzând rotațiile și reflecții ale părților sale (uneori într-un dreptunghi format prin combinația de forme simetrice, care poate fi obținut prin transformarea soluțiilor suplimentare).
Pentru un dreptunghi de 5 x 12 există în 1010 decizii 4 × 15-368 decizii 3 x 20 - doar 2 soluții (peste rotație diferite). În special, există 16 moduri de a se pliază cele două dreptunghiuri 5 x 6, din care poate fi format ca un dreptunghi de 6 x 10 și x 12 5.
O altă mare problemă a Pentamino - problema tripleze Pentamino cifrele (a se vedea figura 7 ..). Această problemă a fost propusă de profesor la Universitatea din California R.M.Robinsonom. Alegerea una dintre Pentamino 12 figuri trebuie să fie construite din oricare din forma 11 rămase 9 Pentamino similare selectate, dar de 3 ori mai mare lungime și lățime. Există o soluție pentru oricare dintre cele 12 Pentamino. și nu numai (15 soluții pentru X la 497 F). Există o variantă a acestei probleme, în care pentru a construi cifra tripla este, de asemenea, permisiunea de a utiliza și figura foarte original. În acest caz, numărul de soluții de 20 până la 9144 pentru X la P-Pentamino.
În această lucrare propunem unele sarcini folosind Pentamino cifre, care pot fi utilizate pentru primele lecții cu acest puzzle, și pentru copii mai avansate. Acestea sunt potrivite pentru elevii din învățământul primar și pentru clasele 5-7 (în funcție de nivelul de elevi).
Pentru munca pe care trebuie să se stabilească, constând din douăsprezece piese Pentamino. Este foarte ușor de a face propria în clasă sau acasă. Pe o foaie într-o cușcă care aveți nevoie pentru a desena forme, astfel încât fiecare a constat din cinci pătrate cu latura de 1 cm. Urmată de lipirea unei foi într-o cușcă pe carton și taie conturul figurii rezultată. Dacă se dorește, ele pot fi vopsite cu creioane sau pixuri colorate. Pentamino gata.
Prezentarea începe cu sarcinile cele mai simple. Nevoia de toate cele douăsprezece cifre Pentamino amâna numai cele de la care se întâmplă această imagine. Cifrele apar în prezentarea, făcând clic pe unul, a fost convenabil pentru a le găsi.
Următorul diapozitiv prezintă o imagine, pe care trebuie să colecteze. Un diapozitiv este prevăzut pe al treilea răspuns. Astfel de probleme în prezentarea celor patru, dar numărul poate fi întotdeauna crescută după cum este necesar.
Începând cu a cincea sarcină, elevii înșiși trebuie să aleagă cifrele care vor fi utilizate pentru această imagine. Sarcina №5 „câini“ va fi nevoie de trei cifre Pentamino.
Problema №6 baieti nu ar trebui să colecteze date numai pe imagini, dar, de asemenea, încearcă să explice de ce nu pot fi furnizate numai o singură soluție la aceste probleme.
În problemele №7 și №8 soluții pot fi mai multe, și puteți aranja un concurs de „care găsesc mai întâi toate soluțiile posibile la aceste probleme.“
Începând cu problema №9, soluțiile devin mult mai mult. Găsiți toate soluțiile în sala de clasă nu va funcționa. Aceste sarcini pot fi oferite ca o opțiune pentru temele sau oferta de a găsi soluții, de rupere clasa în grupuri.
Sarcinile №13 și №14 în soluția utilizată toate cele douăsprezece cifre Pentamino. Este deja sarcină destul de dificilă. Ei nu se pot ocupa de toate gradele 5-6 elevi. Deci, acei tipi care au găsit soluția acestor probleme, ar trebui să fie încurajată.
Foarte interesante rezultate pot fi obținute prin invitarea copii să vină cu o varietate de imagini, compus din figuri Pentamino. Dacă această școală elementară, este necesar să se precizeze că nu puteți utiliza toate piesele dintr-o dată. În clasele de mai târziu, elevii pot utiliza întregul set. Trebuie reamintit faptul că fiecare cifră apare exact o dată, și nu puteți utiliza unele părți mai mult decât o dată.
Și, în general, este foarte dificil să se ajungă la o astfel de cantitate enormă de material într-o singură prezentare. Am sugerat că doar o mică parte a ceea ce poate fi inventat de Pentamino. Fii creativ, iar rezultatul va depăși toate așteptările. Copiii tăi sunt foarte talentat, și trebuie doar să trimită gândurile lor în direcția corectă. Și acolo ...