Revendicarea 4. Kernel și imaginea unei cartografiere liniară.
Definiția. Să harta liniară de spații vectoriale. Mapping liniară de bază f este setul:
Imaginea liniară de cartografiere f este setul:
Cu alte cuvinte, linia constă din vectorii spațiului nucleu V, care sunt afișate în spațiul nul al vectorului W, iar imaginea afișată este pur și simplu o gamă liniară a funcției f.
Dacă f - operator liniar, atunci vorbim despre kernel-ul și imaginea unui operator liniar.
Noi găsim kernel-ul și imaginea mapări liniare discutate în exemplele de la punctul 2.
Exemplul 1. Deoarece toți zero, spațiu vectorial de mapare afișează un vector spațiu nul, definiția miezului și afișajul imagine liniar urmează imediat că și.
Exemplul 2. Să :. Apoi, în mod evident.
Exemplul 3. Fie :, în care A - o matrice de peste dimensiunea câmpului. apoi,
- o multitudine de soluții ale sistemului omogen de ecuații liniare cu necunoscut, unde A - matricea coeficienților;
Să-l studiem mult mai mult. Vom nota cu - coloanele matricei A - necunoscut coloană. Apoi, produsul de A prin coloană X poate fi reprezentat ca: - deschidere liniară a coloanele matricei A.
În consecință, imaginea hărții liniar este intervalul liniar al coloanelor matricei A:
Notă. De obicei, cartografiere liniară nu denotă litere, și aceeași literă ca matrice, prin care este determinată de cartografiere:
și anume această hartă este că fiecare coloană atribuie coloana, astfel încât
De obicei, coloana de litera, adică, . Și în loc să vorbească despre kernel-ul și imaginea unei cartografiere liniară, să zicem, miezul matricei A, imaginea matricei A, în mod tacit ceea ce înseamnă că kernel-ul și imaginea maparea liniare corespunzătoare.
Astfel, în această notație
Exemplul 4. Fie - homomorfism naturale. Este evident că nucleul său la zero, și anume, Acesta constă dintr-un zero vector, iar imaginea display coincide cu spațiul coloanei:
Exemplul 5. Este ușor de văzut că.
Teorema. Să harta liniară de spații vectoriale. Apoi, nucleul de cartografiere liniară este un subspațiu vectorial al spațiului, iar imaginea - subspațiu vectorial.
Dovada. 1) lasa. Apoi. Dar f - homomorfism, prin urmare,
2). Deoarece f - homomorfism,
Teorema (Dimensiunea miezului și afișajul de imagine liniar.) Să presupunem că harta liniară a spațiilor vectoriale. atunci
Dovada. Să - bază de bază. Deoarece - subspațiul V, baza pentru a completa nucleul baza spațiului V. Let - V și baza spațiului
Vom dovedi că - bază, care imediat va urma teorema.
Demonstrați că este generat de sistemul subspațiu. Să - orice subspațiu vectorial. Apoi. Descompunem x la bază spațiu vectorial V:
Aici, vom folosi proprietatile liniare ale morfisme f și faptul că, în cazul în care
Vom demonstra că sistemul este liniar independent. lăsa
Prin proprietăți de liniaritate,
Să ne extindem vectorul v pe bază de bază: de unde obținem:
Deoarece - baza spațiului V, atunci toți coeficienții din această combinație liniară sunt zero, adică, Sistemul poate fi vectorul zero, numai banal și este liniar independentă, QED
Teorema. Morfism de spații vectoriale este izomorfism dacă și numai dacă, atunci când