Până în prezent, una dintre cele mai importante abilități pentru orice profesionist este abilitatea de a rezolva ecuații diferențiale. Ecuatii diferentiale - fără ea nu se poate face orice sarcină o singură aplicație, dacă acesta este un calcul al unui parametru fizic, sau simularea modificărilor ca urmare a politicii macroeconomice. Aceste ecuații sunt de asemenea importante pentru o serie de alte științe, cum ar fi chimie, biologie, medicină etc. Mai jos vom da un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în economie, dar nu înainte de a descrie pe scurt principalele tipuri de ecuații.
Vă mulțumim pentru lectură și pentru partajarea cu alții
ecuații diferențiale - tipuri simple de
Înțelepții spun că legile noastre univers sunt scrise într-un limbaj matematic. Desigur, în algebra există multe exemple de ecuații diferite, dar este, în cea mai mare parte, studii de caz, inaplicabile în practică. Matematica foarte interesant începe atunci când vrem să descriem procesele care au loc în viața reală. Dar cum să reflecte factorul de timp, care este supus proceselor reale - inflația, dezvoltarea de produse sau criterii demografice?
Să ne amintim de o definiție importantă a cursului de matematică în ceea ce privește derivata unei funcții. Derivatul este rata de schimbare a funcției, prin urmare, ne poate ajuta pentru a reflecta factorul timp în ecuația.
Asta este, vom forma ecuația cu o funcție care descrie rata de interes pentru noi, și vom adăuga la ecuația derivata a acestei funcții. Aceasta este o ecuație diferențială. Și acum pentru simple tipuri de ecuații diferențiale pentru Dummies.
Cea mai simplă ecuație diferențială este de $ y '(x) = f (x) $, unde $ f (x) $ - este o funcție, și $ y' (x) $ - derivat sau rata de schimbare a funcției dorite. Acesta este rezolvat prin integrarea comun: $$ y (x) = \ int f (x) dx $$.
Al doilea tip se numește ecuație diferențială simplă cu variabile separabile. Această ecuație este următoarea $ y „(x) = f (x) \ cdot g (y) $. Este evident că variabila dependentă $ y $ este de asemenea parte a funcției construite. Ecuația poate fi rezolvată foarte simplu - este necesar "pentru a separa variabilele", adică aduce la forma $ y „(x) / g (y) = f (x) $ și $ dy / g (y) = f (x) dx $. Rămâne să se integreze ambele părți ale $$ \ int \ frac = \ int f (x) dx $$ - tipul aceasta este soluția ecuației diferențiale sunt separate.
Ultimul tip simplu - este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi. Ea are forma $ y „+ p (x) y = q (x) $. În cazul în care $ p (x) $ și $ q (x) $ - unele funcții și $ y = y (x) $ - funcția dorită. Pentru a rezolva această ecuație a fost utilizata pentru metode speciale (metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare, metoda de substituție Bernoulli).
Există tipuri mai complexe de ecuații - ecuații de al doilea, al treilea și chiar ordine arbitrară, omogene și neomogene ecuații și sisteme de ecuații diferențiale. Pentru a le rezolva, de pre-formare și experiență în rezolvarea problemelor simple.
De o mare importanță pentru fizică și, în mod surprinzător, finanțe au așa-numitele ecuații diferențiale în derivate parțiale. Acest lucru înseamnă că funcția necunoscută depinde de mai multe variabile simultan. De exemplu, ecuația Black Scholes de inginerie financiară descrie valoarea opțiunii (tipul de securitate), în funcție de rentabilitatea acestuia, mărimea plăților, precum și plățile de început și sfârșit. Soluțiile de ecuații diferențiale în derivate parțiale sunt complexe, de obicei, necesitatea de a utiliza un program special, cum ar fi Matlab sau Maple.
Exemplu de aplicare a ecuației diferențiale în economie
Să ne, așa cum a promis, un exemplu simplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Inițial, de stat problema.
Pentru unele firme funcția de venituri marginale din vânzarea produselor sale este de forma $ MR = 10-0,2q $. Aici $ MR $ - venitul marginal al companiei, și $ q $ - produse de volum. Trebuie să găsim venitul total.
După cum se poate observa din problema, este un exemplu de aplicare a microeconomics. O mulțime de firme și companii sunt în mod constant cu care se confruntă cu astfel de calcule în cursul activităților lor.
Noțiuni de bază la soluția. După cum se cunoaște din micro, veniturile marja este derivata din veniturile totale, venitul este egal cu zero pentru un nivel de zero de vânzări.
Matematic, problema se reduce la rezolvarea unei ecuații diferențiale $ R „= 10-0,2q $ subject $ R (0) = 0 $.
Integra ecuație, luând funcția primitivă a ambelor părți, obținem soluția generală: $$ R (q) = \ int (10-0,2q) dq = 10 q-0,1q ^ 2 + C. $$
Pentru a găsi o constantă $ C $, să ne amintim starea de $ R (0) = 0 $. Substituind: $$ R (0) = 0-0 + C = 0. $$ înseamnă C = 0 și funcția noastră totală a veniturilor ia forma $ R (q) = 10q-0,1q ^ 2 $. Problema este rezolvată.
Vă mulțumim pentru lectură și pentru partajarea cu alții