Distribuția variabilelor aleatoare

Se poate imagina distribuția variabilei aleatoare ca o corespondență între seturile și probabilități.

Distribuția variabilelor aleatoare sunt obiectele de baza de studiu în teoria probabilității. Nu vom, de regulă, să fie interesat în oricare dintr-o varietate de activități și de modul în care funcționează exact rezultatele elementare compară valorile lor posibile. Vom fi din ce în ce interesează ceva pe platourile de filmare de probabilități care sunt luate aceste valori. Câteva exemple de complet diferite variabile aleatoare având aceeași distribuție (distribuite în mod egal).

1. Odată ce moneda corectă este aruncată. Spatiul este format din două evenimente elementare # 151; strat și cozi. Ca o algebră considerăm mulțimea tuturor subseturi. Probabilitatea întreba cum în sistemul clasic. Definim două variabile aleatoare și așa: să

= 1 dacă = stema. u = 0 dacă = cozi;

= 0 daca = stema. și = 1 dacă = cozi.

Evident, pentru orice set de probabilități și fac parte din aceeași. Cu toate acestea, pentru orice valori de rezultat elementare și nu se potrivesc. Ie și identic distribuite. dar nu același lucru (în funcție).

2. punct aleatoriu capturile pe intervalul [0, 1]. În acest caz, este intervalul de [0, 1] cu sigma-algebra Borel seturi și măsura Lebesgue. Oferirea cititorului să verifice dacă două funcții complet diferite, și (distanța de la punctul de cădere din stânga și din capetele segmentului de dreapta, respectiv) au probabilități egale ia valori în orice boreliene (probabilitate egale seturi de intersecție Lebesgue și [0, 1]). Astfel, aceste variabile aleatoare din nou identic distribuite, dar nu sunt identice: numai valorile lor coincide cu sfârșitul unui elementar = 0,5 (desena grafică și funcții).

3. În același interval [0, 1] pentru a construi două funcții: = 0 pentru toți; = 0 pentru toate, dar a = 0,5, iar la un punct = 0.5 set = # 151; 17.

Având în vedere că măsura Lebesgue a unui punct (care este # 151; probabilitate) este zero, distribuția valorilor și aceeași. Acum, și din nou, la fel ca și funcția, dar diferă în valorile lor numai pe un set de probabilitate zero (numai la punctul 0.5). În acest caz, se spune că aceeași „aproape sigur“. .

Vom descrie diferite tipuri de distribuții de variabile aleatoare. Toate masa de probabilitate poate fi concentrată în câteva puncte ale liniei, acesta poate fi „uns“ pe un anumit interval sau peste linia. În funcție de tipul setului, care se concentrează întreaga distribuție de masă unitate de probabilitate este împărțită în amestecuri discrete, absolut continue, singulare, și ale acestora.

29. Determinarea valorii Cluchaynaya are o distribuție discretă, în cazul în care există un set finit sau numărabil de numere astfel încât

Astfel, o variabilă aleatoare are o distribuție discretă în cazul în care este nevoie de mai mult de un număr numărabil de valori. aceste valori sunt numite și atomi: atomul este punctul când.

În cazul în care o variabilă aleatoare are o distribuție discretă, pentru orice

distribuție discretă este convenabil pentru a specifica următorul tabel, în care:

30. Determinarea valorii Cluchaynaya este de distribuție absolut continuă, în cazul în care există o funcție non-negativ, astfel încât pentru fiecare set de Borel are ecuația:

Funcția numita densitate variabilă aleatoare.

Observați 11. Cele de mai sus este o parte integrantă Lebesgue integrantă și nu Riemann. Este suficient dacă cititorul nu este familiarizat cu Lebesgue integral, se va prezenta în sine pur și simplu ca aria de sub graficul integrandul peste setul. Zona de deasupra setului cu zero, măsură Lebesgue este zero. Rețineți că orice funcție care este diferită de funcția de numai un număr finit de puncte sau de numărare (sau pe un set de măsuri Lebesgue zero) va fi aceeași distribuție de densitate, deoarece integrala nu se schimba prin schimbarea integrandul pe un set de măsuri de zero.

Teorema 17. Distribuția densității are proprietăți:

. Dovada (f1) configurat pentru a determina densitatea (f2), rezultă de asemenea din definiția:

Aceste două proprietăți sunt caracterizează complet clasa densităților:

Teorema 18. Dacă funcția are proprietăți (f1) și (f2). atunci există un spațiu de probabilitate și variabilă aleatoare pe ea, pentru care o distribuție de densitate.

Dovada. Să presupunem că există o zonă delimitată de axa x și graficul funcției. Suprafața terenului este egală cu una dintre proprietate (f2). lăsa # 151; set de subseturi Borel și # 151; măsură Lebesgue (zona) pe platourile de filmare. Să variabila aleatoare este abscisa unui punct la întâmplare aruncat în această zonă.

Apoi, pentru orice adevărat:

zona se dispune de un trapez curbilinie sub densitatea graficului la baza. Prin definiție, ecuația (10) indică faptul că funcția este o distribuție aleatorie densitate variabilă.

7. În cazul în care proprietatea unei variabile aleatoare este absolut de distribuție continuă, atunci pentru fiecare.

Dovada. Demonstrația rezultă direct din definiția 30 și 11. Observațiile ca prin integrarea zonei integrale constând dintr-un singur punct este zero.

Puteți evidenția o altă clasă specială de distribuții concentrate, în contrast cu distribuțiile absolut continuă, pe un set de măsuri Lebesgue zero, dar nu au, în contrast cu atomii discrete în orice punct al acestui set.

Definiția 31. Spunem că o variabilă aleatoare are o distribuție singulară, în cazul în care există un set Borel cu masura zero, astfel încât Lebesgue, dar pentru fiecare punct.

Menționăm următoarele proprietatea distribuții singulare. Amplasat pe care toată distribuția este concentrată, nu poate consta dintr-un număr finit sau numărabil de puncte. Într-adevăr, în cazul în care cursul sau numărabil. în cazul în care însumarea este peste tot. Ultima sumă este egală cu zero ca suma unui număr de numărabil zerouri, ceea ce contrazice ipoteza.

Astfel, orice distribuție singular este concentrată pe mulțimea nenumărat de măsură la zero Lebesgue. Un exemplu de astfel de set poate servi ca un set Cantor perfectă. și un exemplu de o astfel de distribuție # 151; scara cantor (pentru a afla ce este!).

În final, distribuția poate fi combinație convexă de distribuții discrete, continue și absolut singulare.

32. Determinarea spun că variabila aleatoare are o distribuție mixtă, în cazul în care există variabile aleatoare, și # 151; discrete, continue și absolut singulare distribuții respectiv (sau trei astfel de distribuție), precum și numărul, că pentru orice ecuație următoare are:

Conform specifica un spațiu de probabilitate variabile aleatoare și numere pot construi o variabilă aleatoare cu o distribuție mixtă, după cum urmează: Fie # 151; o variabilă aleatoare cu o distribuție discretă pe același spațiu de probabilitate, astfel încât, cu orice și fiecare eveniment și independent.

Am construi o valoare aleatoare, după cum urmează: atunci când, în cazul în care. Distribuția sa găsi pe formula totală de probabilitate.

Datorită independenței evenimentelor sub semnul fiecăreia dintre probabilitățile,

Nu există alte tipuri de distribuții, altele decât cele enumerate mai sus, există (dovedită Lebesgue).

articole similare