Deasupra legilor distribuției variabilelor aleatoare discrete au fost luate în considerare.
Cum pot să trimit legea de distribuție a variabilei aleatoare continue, și anume, cantitate care poate lua orice valoare pe un interval al axei reale, iar numărul de valorile sale posibile sunt întotdeauna la infinit?
Pentru probabilitate variabilă aleatoare continuă că va dura pentru o singură valoare specifică este întotdeauna zero. Dar este posibil să se determine probabilitatea ca această valoare va avea valoarea unei anumite perioade.
Puteți utiliza funcția densității de probabilitate f (x) (este de asemenea nazyvayutplotnostyu iliplotnostyu de distribuție de probabilitate).
Probabilitatea ca un x variabila aleatoare continuă ia valoarea unui decalaj [a, b], este dată de:
în care funcția integrantul f (x) se numește densitatea de distribuție.
Din formula se vede că această probabilitate este nimeni altul decât aria de sub curba generată densitate de probabilitate f (x) în intervalul [a, b]. Acest lucru rezultă din semnificația geometrică a definit integralei.
Dacă variabila aleatoare X poate lua valorile pe toată axa reală, atunci funcția sa de densitate f (x) trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
Dacă x nu este distribuit pe toată axa reală, iar la un anumit interval de luat în mod corespunzător limitele acestui interval.
Prima condiție pentru densitatea de probabilitate înseamnă că posibilitatea nu poate fi negativ, iar al doilea - că suma probabilităților de pe toate evenimentele trebuie să fie egală cu 1.
Rețineți că, pentru o funcție discretă variabila aleatoare F (x), care definește dreptul de distribuție (probabilitatea ca acesta va avea o valoare prestabilită), de asemenea, numita densitate de probabilitate :.
Mai mult decât atât, legea distribuției variabilei aleatoare poate fi definită funcția de distribuție de probabilitate (sau prostofunktsiey de distribuție) F (a). Această funcție este definită pe mulțimea numerelor reale și reprezintă probabilitatea ca o variabilă aleatoare ia valoarea x și minimă: F (a) = P (x <а).
Pentru o variabilă aleatoare discretă, în care funcția este o etapă, deoarece densitatea de probabilitate este definita doar pentru valori discrete (o funcție de distribuție este definită pe întreaga axă pentru orice variabile aleatoare). Prin urmare, o definiție riguroasă a unei variabile aleatoare continuă este introdusă prin funcția de distribuție conceptul: o valoare nazyvayutnepreryvnoy aleatoare. în cazul în care este funcția de distribuție continuă.
reprezintă grafic funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, de exemplu, considerat anterior, în care jucătorul poate câștiga sau pierde o anumită sumă cu probabilități date. x câștigătoare densitate de probabilitate a fost definită sub formă de tabel (în al doilea rând din tabelul 1). Atribuim la tabelul 1, valorile pentru valorile discrete ale funcției de distribuție x (tabelul 3), și, în plus, modificați coloanele din locurile pentru a aranja valoarea valorilor aleatoare în ascendent (pentru ușurința complot).
Probabilitatea ca câștigul este mai mică decât (-300), este zero. De aceea, pentru a ≤ -300 F (a) = 0 . câștig mai puțin (mai mare ratat) este pur și simplu imposibil.
Probabilitatea ca câștigul va fi mai mic de 500, este de 0,7, adică F (500) = 0,7. De fapt, acest câștig poate fi obținut doar cu o probabilitate de a pierde 300 0.7. Probabilitatea de a câștiga cel puțin 499, 400, 350, etc. -300-500 (inclusiv 500), sunt, de asemenea, egal cu 0,7 pentru același motiv. Prin urmare, pentru -300 <а ≤ 500F(a) = 0,7.
Probabilitatea de a câștiga mai puțin de 1000 este de 0,9, deoarece acest câștig înseamnă că a castigat sau -300, sau 500, iar axioma plus 0,2 + 0,7 = 0,9. Prin urmare, F (1,000) = 0,9. Pentru aceeași prichineF (501) = F (510,5) = = F (800) = ... = 0,9, adică la 500 <а ≤ 1000F(a) = 0,9.
Și, în sfârșit, pentru orice câștig de peste 1000 probabil să câștige mai puțin decât această valoare a unei variabile aleatoare este egală cu 1. Prin urmare, acest eveniment - important. Toate valorile potențiale câștigătoare la mai puțin de 1000. Astfel, pentru un> 1000F (a) = 1.
Construim un grafic al funcției de distribuție, care va avea forma unei funcții pas (Figura 12).
Funcția F (x) de distribuție are următoarele proprietăți:
1) 0 ≤ F (x) ≤ 1 (proprietățile de probabilitate);
2), adică F (x) scade de-a lungul întregului monoton axei numerice (dovada omise);
3) ca probabilitatea unui eveniment imposibil;
4) probabilitatea unui anumit eveniment;
5) probabilitatea poate fi calculată prin utilizarea funcției de distribuție ca incrementul funcției: (proof omise).
Astfel, probabilitatea poate fi calculată ca pe funcția de distribuție, precum și utilizarea distribuției densității:.
Între densitatea de probabilitate și aleatoare funcția de distribuție variabilă continuă există următoarea relație:
.
Cu alte cuvinte, valoarea funcției de distribuție va fi aria de sub graficul f densității de probabilitate (x), curba în intervalul] -; a].
Pe de altă parte, densitatea de probabilitate pentru o variabilă aleatoare continuă, este un derivat al funcției de distribuție: f (x) = F` (x).
Prin urmare, funcția de distribuție este uneori numită funcția de distribuție cumulativă. și funcția de distribuție -differential densitatea distribuției. densitate de distribuție Program făcut distribuție nazyvatkrivoy.
Pentru o variabilă aleatoare continuă va avea o imagine ușor diferită de așteptarea cu formula (integralei este luată în loc de suma pe care ar trebui să conveargă absolut, în caz contrar, speranța nu există):.