Din definiția vectorilor de diferență și cu formula (1.6), obținem
În consecință, proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt, respectiv
Def. Numărul = xB - xA. = YB - YA. = ZB - ZA sunt numite coordonate carteziene vector = în spațiu.
NB. Fiecare vector de coordonate cartezian este numeric egală cu proiecția pe axa corespunzătoare.
Conform previziunilor de proprietate să aibă o axă:
(1.12) Þ . (1.13)
în cazul în care (teorema lui Pitagora) | | este egal cu:
Găsiți coordonatele =. lungimea și direcția cosinusului sale, dacă A este (1, 3, 2), B (5; 8; 1).
4 = 5 + - 3; | | = = = = 5;
Găsiți pe Ox coordonatele axei punctului M, care este echidistant față de punctele A (2, -4, 6) și B (-3, 2, 5).
Prin ipoteză | | = | |. Deoarece punctul MÎoh Þ M (x, 0, 0). prin urmare
Din moment ce | | = | | Þ (X - 2) 2 + 52 = (x + 3) 2 + 29 Þ x 2 - 4 + 56 = x 2 + 6x 38 Þ 10X = 18 Þ x = 1.8 Þ M (1,8, 0, 0). A: M (1,8, 0, 0).
Operații cu vectori, date fiind coordonatele lor.
Să presupunem = x + x + x = (ax; ay, az); = X + x + x = (bx; prin; bz)
operații liniare cu vectori.
2) = x + x + x = (ax; ay, az).
Condiția egalității dintre cei doi vectori.
Starea de coliniaritate a doi vectori.
Dacă || Þ = × Þ Þ (1.15).
În consecință, toți vectorii coliniare sunt proporționale cu proiecția.
La ce valori a și b vectori = (a; 3; 1); = (2; 6; b) sunt coliniare.
În acest caz, (1.15) ia forma: Þ a = 1; b = -2.
diviziune segment în acest sens.
În spațiul sunt două diferite puncte M1 (x1, y1, z1) și M2 (x2; y2, z2) (figura 1.13). Am găsit coordonatele punctului M (x, y, z), care împarte segmentul [M1 M2] în ceea ce privește. Dar, deoarece diviziunea vectorul nu este definit, atunci folosim echivalent raportul = ×.
1) În cazul în care MÎ[M1 M2], spunem că punctul M împarte segmentul [M1 M2] pe plan intern. În acest caz -. În consecință,> 0;
2) Dacă MÏ[M1 M2], spunem că punctul M împarte segmentul [M1 M2] extern. În acest caz -¯ . Prin urmare, <0;
3) ¹ -1. Dacă = 1, atunci Þ = - Þ + = 0 Þ Þ M1 = M2. Dar acest lucru contrazice condiția ca M1 și M2 sunt puncte diferite;
4) dacă este = 0 Þ M = M1;
5) În cazul în care | | = ¥ Þ M = M2.
Din ecuația = × Þ
Þ Þ Þ . (¹ -1), (1,16)
unde (x, y, z) - coordonatele punctului M și vectorul rază. (X1, y1, z1) - coordonatele punctului M1 și vectorul rază. și (x2, y2, z2) - coordonatele punctelor M2 și vectorul raza. Apoi, sistemul de ecuații (1.16), aveți posibilitatea să noteze o ecuație singur vector
Exemplul 1 Dată: M1 (-3, 2, 4), M2 (6, 0, 1). Se determină coordonatele punctului M (x, y, z), împărțind segmentul [M1 M2] = 2 împotrivă.
Decizie. Deoarece coordonatele sunt coordonatele punctului M vectorul rază. formula (1.17), obținem
Se calculează coordonatele punctului M bisector vector. Dacă M1 (2, 8, 6), M2 (4, -6, 0).
Decizie. Deoarece punctul M împarte segmentul [M1 M2] pe jumătate, apoi = Þ =. Þ = 1. Apoi, în conformitate cu (1.16), obținem Þ M (3, 1, 3).
Având în vedere două vârfuri ale triunghiului ABC: A (5 3), B (2, -1) și punctul M (2, 2) de intersecție a medianele sale. Se determină coordonatele vertex C ale triunghiului ABC (ris.1.14).
Decizie. Prin ipoteză D punct împarte segmentul [AB] jumătate. Apoi, din formulele de împărțire în două interval de a găsi coordonatele punctului D:
Conform intersecția medianele unui triunghi al unui punct M împarte segmentul [CD] împotriva =. În consecință, xM = Þ xM = xC (1+) - hD = 2 x 3 - x 2 = -1; = Y m Þ Vc = ym (1+) - 2 x = Ud 3 - 1 = 2 x 4 Þ C. (1; 4) A: C (-1, 4).
Se determină coordonatele obiective ale [AB], când punctul C (2, 0, 2) și D (5, -2, 0) este împărțit în trei părți egale (ris.1.15):
Decizie. Punctul C este punctul de mijloc al intervalului [AD], prin urmare,
În mod similar, punctul D este jumătatea intervalului [NE], prin urmare,
A: A (1; 2; 4); În (8, -4, -2).
Produsul dot a doi vectori.
Def. Produsul scalar a doi vectori este un număr egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori de cosinusul unghiului dintre ele. Simbol ×. sau (.).
Astfel, × = | | × | | × cosj, unde j =. (2.1)
Din moment ce | | × cosj = și | | × cosj = (Figura 2.1), atunci (2.1) poate fi scrisă astfel
× = | | × = | | × (2.2)
NB. semnificația mecanică a produsului scalar. În cazul în care organismul sub acțiunea forței constante mută o distanță. acest lucru înseamnă că lucrul mecanic Un egal numeric cu produsul scalar al forței asupra vectorului de mișcare realizat peste corp. adică A = x.