Să considerăm mai întâi conceptul unei funcții compozit. Fie funcția \ (g \) definite pe setul \ (X \) și poate lua valori în setul \ (U \). În acest caz, spunem că funcția \ (g \) prezintă o multitudine de \ (X \) a \ (U \), iar funcția este înregistrată ca \ [u = g \ stânga (x \ dreapta), \; \; \ textul \; \; x \ în x, u \ în U. \] Să presupunem acum că setul \ (U \) este dată o altă funcție \ (f \), care afișează o pluralitate de \ (U \) o \ (Y \) : \ [y = f \ stânga (u \ dreapta), \; \; \ textul \; \; u \ în U, y \ în Y. \] o astfel de afișare duală, în care intervalul de valori ale primei hărți este un subset al domeniului în al doilea rând de cartografiere, numite hărți de compoziție. și funcțiile corespunzătoare formează o compoziție de funcții.
Dacă \ (g: X \ U \) și \ (f: U \ Y \), atunci funcțiile de compoziție \ (g \) și \ (f \) este desemnat ca fiind \ [y = \ stânga (\ dreapta) \ stânga (x \ dreapta) = f \ stânga (\ dreapta) = f \ left (u \ dreapta) \] și reprezintă o "bistrat" funcție complicată sau funcția funcției.
Dacă \ (f \) și \ (g \) - funcția diferențiabilă, atunci compozit funcția \ (y = f \ stânga (\ dreapta) \) este derivabila pe \ (x \) și derivatul său este egal cu \ [>> = \ frac> \ stânga (\ dreapta) \ stânga (x \ dreapta)> => f \ la stânga (dreapta) \ g „\ stânga (x \ dreapta)> = >> \ frac >>.> \] Această formulă arată că derivata unei funcții compozit este produsul derivat al funcției exterioare la derivata funcției interioare. Este important să se aibă în vedere faptul că derivata funcției de interior este calculată la punctul \ (x \), și derivata funcției exterioare - (! U = g \ stânga (x \ dreapta) \) la \
Dovedim formula de mai sus.
Ia-un punct \ arbitrar (\). Presupunem că funcția \ (u = g \ stânga (x \ dreapta) \) este diferențiabilă în punctul \ (\), iar funcția \ (y = f \ stânga (u \ dreapta) \), respectiv, este diferențiabilă la punctul \ (= g \ stânga (> \ dreapta) \). Acest lucru înseamnă că, în aceste puncte derivatele \ (g '\ stânga (x \ dreapta) \) și \ (f' \ stânga (u \ dreapta) \), iar funcțiile \ (g \ stânga (x \ dreapta) \ ) și \ (f \ stânga (u \ dreapta) \) sunt continue într-un cartier al acestor puncte.
Derivata funcției externe \ (y = f \ stânga (u \ dreapta) \) la punctul \ (\) este înregistrat printr-o limită \ [f „\ stânga (> \ dreapta) = \ lim \ limits_ \ frac >>. \ ] această expresie poate fi rescrisă sub forma: \ [\ Delta y = f „\ stânga (> \ dreapta) \ Delta u + \ varepsilon \ left (\ dreapta) \ Delta u \] unde eroarea \ (\ varepsilon \ stânga (\ dreapta) \) depinde de creștere \ (\ Delta u \) și [dreapta) = \ varepsilon \ left \ lim \ limits_ \ varepsilon \ left (\ (0 \ dreapta) = 0. \] condiția \ Expresiile pentru \ (\ Delta y \) o creștere a variabilei intern \ (\ Delta x \ ne 0 \): \ [\ frac >> = f „\ stânga (> \ dreapta) \ frac >> + \ varepsilon \ left (\ dreapta) \ frac >>. \] Deoarece funcția interior \ (u = g \ stânga (x \ dreapta) \) este diferențiabilă în punctul \ (\), apoi \ [\ lim \ limits_ \ frac >> = g „\ left (> \ dreapta). \] Rețineți, de asemenea că \ (\ lim \ limits_ \ Delta u = 0 \) prin continuitatea funcțiilor \ (u \ stânga (x \ dreapta) \) și, prin urmare, \ [\ varepsilon \ stânga (\ dreapta) = \ varepsilon \ stânga (\ Delta u> \ dreapta)> = \] ca rezultat al funcției de compozit derivat de la punctul \ (\) este exprimată după cum urmează: \ [> \ dreapta) = \ lim \ limits_ \ frac >>> = \ stânga [> \ dreapta) \ frac >> + \ varepsilon \ left (\ dreapta) \ frac >>> \ right]> => \ dreapta) \ lim \ limits_ \ frac >> + \ lim \ limits_ \ varepsilon \ stânga (\ dreapta ) \ cdot \ lim \ limits_ \ frac >>> => \ dreapta), g '\ stânga (> \ dreapta) + 0 \ cdot g' \ stânga (> \ dreapta)> => \ dreapta), g „\ stânga ( > \ dreapta)> => \ dreapta)> \ dreapta), g „\ stânga (> \ dreapta).> \] Această regulă de diferențiere este ușor de generalizat pentru cazul funcției compozit, format din trei sau mai multe funcții. De exemplu, un derivat de "sandwich" funcție complexă \ (y = f \ left (\ dreapta)> \ dreapta) \) este dat \ [\ dreapta) ^ \ prime> \ stânga (x \ dreapta)> = \ dreapta )> \ dreapta)> \ right] ^ \ prime >> = \ dreapta)> \ dreapta) \ cdot g '\ stânga (\ dreapta) \ cdot h' \ stânga (x \ dreapta).> \] se poate observa, că funcția compozit derivat este reprezentat ca un produs de serie funcții constitutive derivate, argumentele funcționale aliniate (legat), astfel încât valoarea funcțiilor interne ale unui argument pentru următoarea funcție de ei externă. Prin urmare, regula pentru diferențierea unei funcții compozit este adesea numită „regula de lanț“ (regula de lanț).În exemplele \ (1 \) - \ (50 \) pentru a găsi derivați de funcții predefinite: