Factorul Q al sistemului oscilator.
Oscilații proprii ale sistemului real. Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate. Coeficient de atenuare.
Anterior am considerat oscilațiile intrinseci ale sistemelor oscilante conservatoare (ideale). În astfel de sisteme, apar oscilații armonice caracterizate prin constanța amplitudinii și a perioadei și sunt descrise de următoarea ecuație diferențială
În sistemele oscilante reale, forțele care împiedică oscilațiile (forțele de rezistență) sunt întotdeauna prezente. De exemplu, în sistemele mecanice există întotdeauna o forță de frecare. În acest caz, energia oscilațiilor se extinde treptat asupra muncii împotriva forței de frecare. Prin urmare, energia și amplitudinea oscilațiilor vor scădea, iar oscilațiile se vor diminua. În circuitul oscilator electric, energia oscilațiilor se consumă la încălzirea conductorilor. Asta este, sistemele oscilante reale sunt disipative.
Oscilațiile proprii în sistemele reale sunt atenuate.
Pentru a obține ecuația oscilațiilor într-un sistem real, este necesar să se ia în considerare forța de rezistență. În multe cazuri, putem presupune că, la rate mici de schimbare a valorii lui S, forța de tracțiune este proporțională cu viteza
unde r este coeficientul de rezistență (coeficientul de frecare pentru oscilațiile mecanice), iar semnul minus indică faptul că forța de rezistență este opusă vitezei.
Înlocuind forța de rezistență în formula (2), obținem o ecuație diferențială care descrie oscilațiile din sistemul real
Transferăm toți termenii în partea stângă, divizăm cu m și introducem următoarea notație
Ca și înainte, valoarea lui ω0 determină frecvența oscilațiilor naturale ale unui sistem ideal. Valoarea lui β caracterizează disiparea energiei în sistem și se numește coeficientul de amortizare. Se poate observa din formula (5) că coeficientul de atenuare poate fi redus prin creșterea valorii lui m la o valoare constantă de r.
Având în vedere notația introdusă, obținem ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate
Soluția ecuației diferențiale a oscilațiilor amortizate. Amplitudinea și frecvența oscilațiilor amortizate.
Se poate demonstra că pentru valorile mici ale coeficientului de amortizare, soluția generală a ecuației diferențiale a oscilațiilor amortizate are următoarea formă
unde valoarea din fața sinusului este numită amplitudinea oscilațiilor amortizate
Frecvența ω a oscilațiilor amortizate este determinată de următoarea expresie
Din formula de mai sus (7) rezultă că frecvența de oscilație naturală a unui sistem oscilant real este mai mică decât frecvența de oscilație a unui sistem ideal.
Graficul din ecuația oscilațiilor amortizate este prezentat în figură. Linia solidă prezintă graficul de deplasare S (t), iar linia punctului de bord arată schimbarea amplitudinii oscilațiilor amortizate.
Trebuie avut în vedere că, ca rezultat al atenuării, nu se repetă toate valorile cantităților. Prin urmare, în mod strict vorbind, noțiunile de frecvență și de perioadă nu sunt aplicabile oscilațiilor amortizate. În acest caz, perioada este înțeleasă ca fiind intervalul de timp după care cantitățile fluctuante își asumă valorile maxime (sau minime).
Reducerea decrementului logaritmic. Factorul Q al sistemului oscilator. Procesul aperiodic.
Pentru a cuantifica rata de scădere a amplitudinii oscilațiilor amortizate, este introdus un decrement logaritmic de amortizare δ.
Deteriorarea logaritmică a amortizării este logaritmul natural al raportului dintre amplitudini la momentele tt și t + T, adică diferă pentru o perioadă.
Prin definiție, decrementul logaritmic este dat de următoarea formulă
Dacă în locul amplitudinilor din formula (8) substituie formula (6), atunci se obține o formulă care conectează decrementul logaritmic cu coeficientul de amortizare și perioada
Intervalul de timp τ. în care amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor e, se numește timpul de relaxare. În acest sens, obținem că, unde N este numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea scade cu un factor e. Adică, decrementarea amortizării logaritmice este invers proporțională cu numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea scade. Dacă, de exemplu, β = 0,001, atunci aceasta înseamnă că după 100 oscilații amplitudinea scade cu un factor de e.
Factorul Q al unui sistem vibrațional este cantitatea dimensională θ egală cu produsul numărului 2π și raportul dintre energia W (t) a oscilațiilor într-o perioadă arbitrară de timp și scăderea acestei energii într-o perioadă de oscilații amortizate
Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii oscilațiilor, înlocuind energiile din formula (10) cu pătratele amplitudinilor determinate de formula (6), obținem
Cu amortizare nesemnificativă și. Luând în considerare acest lucru, putem scrie pentru Q
Relațiile prezentate aici pot fi scrise pentru diferite sisteme oscilatorii. Pentru aceasta, S. m este suficient. k și r sunt înlocuite cu valorile corespunzătoare care caracterizează oscilațiile specifice. De exemplu, pentru oscilațiile electromagnetice, S → q. m → L. k → 1 / C și r → R.
Cu o valoare mare a coeficientului de amortizare β, nu numai o scădere rapidă a amplitudinii, ci și o creștere a perioadei de oscilații. Se poate observa din formula (7) că atunci când frecvența ciclică a oscilațiilor dispare (T = ∞), adică nu apar oscilații. Aceasta înseamnă că, cu o mare rezistență, toată energia comunicată sistemului, în momentul revenirii sale la poziția de echilibru, este folosită pentru a lucra împotriva forței de rezistență. Sistemul retras din poziția de echilibru revine la poziția de echilibru fără rezerva de energie. Ei spun că procesul este aperiodic. Timpul pentru stabilirea echilibrului este determinat de valoarea rezistenței.
Cititorul este invitat să vadă pentru sine cum sunt afectate valorile lui r. m. T1 și φ0 asupra caracterului de oscilație al sistemului oscilant real.
Pentru a face acest lucru, deplasați cursorul peste diagramă și faceți dublu clic pe acesta pentru ao activa. Apoi, în fereastra deschisă, schimbați valorile valorilor date în celulele colorate. La sfârșitul lucrului cu programul, tabela EXEL ar trebui închisă cu sau fără salvarea datelor.
Întrebări pentru auto-examinare:
Se deduce ecuația oscilațiilor amortizate. Ce fel de grafic are ecuația oscilațiilor amortizate?
Ce formula determina coeficientul de atenuare? Cum pot reduce factorul de atenuare?
Notați legea schimbării în amplitudinea oscilațiilor amortizate.
Ce formula determină frecvența oscilațiilor naturale ale unui sistem oscilant real?
Ce caracterizează diminuarea logaritmică a amortizării?
Ce se înțelege prin factorul Q al sistemului oscilator?