În geometria elementară s-au măsurat lungimile segmentelor rectilinii, precum și lungimea cercului și a părților sale. Pentru lungimea cercului este acceptată limita perimetrilor poligoanelor obișnuite înscrise într-un cerc, cu o creștere nelimitată a numărului de laturi. Noi generalizăm acest concept pentru orice curbă.
Definiția. DlinoyL arc AB este limita spre care perimetrul poligonale înscris în, acest arc, atunci când numărul unităților sale fără limită și maximul lungimilor link-urile se duce la zero:
Curbele pentru care există această limită sunt numite rectificabile.
Teorema. Fie krivayaAV dată de ecuația y = f (x), unde f (x) - o funcție continuă având un derivat continuu la toate punctele din segmentul [a, b]. Apoi arcul AB are o lungime:
/>
Exemplul 1. Găsiți lungimea arcului unei parabole semicubice de la x = 0 la x = 5. Soluție: Curba este simetrică față de axa Ox. Să găsim lungimea ramurii superioare a curbei. Din ecuația pe care o găsim
Pentru a găsi lungimea arcului unei parabole, se pot folosi formulele: Deoarece Apoi prin formula (1) obținem:
În acest scop, exprimăm din ecuația parabolei x și găsim derivatul în raport cu "jocul":
Atunci lungimea arcului va fi egală cu: