Să presupunem că, în loc de valori exacte, aproximările lor sunt date, unde sunt erorile de rotunjire. atunci
Pentru o mai mare claritate, vom presupune că (este un polinom al celui de-al patrulea grad), (calcule cu 12 cifre zecimale), apoi
Din ultima formulă rezultă că
1. dacă (dacă, apoi în loc de);
2. pentru a nu avea nici un sens de luat și când vom obține cea mai bună precizie.
Integrarea numerică
Integrarea funcțiilor este una dintre operațiile matematice de bază. În această secțiune considerăm o abordare clasică a construirii formulelor de cvadratură de interpolare pentru calculul aproximativ al unui integral definitiv
unde este o funcție pozitivă astfel încât.
Definiție 1. Formula
se numește formula de cvadratură pentru calcularea aproximativă a integrității (1) a funcției pe nodul cu greutăți.
Deoarece din valorile funcției la nodurile formulei de cvadratură, putem construi un polinom interpolat în formă de Lagrange
unde, atunci ar fi normal să se determine greutatea formulei de cvadratură (2) în formă
iar formula însăși este denumită formula de cvadratură de interpolare.
Formula de cvadratură (2) este denumită formula de cvadratură de interpolare, dacă greutățile ei sunt calculate prin formula (4).
Este practic evident că formula de cvadratură de interpolare (2) va fi exactă (adică, dacă funcția este un polinom de grad cel mult. Invers, dacă formula de cuadratură (2) este exact pentru orice polinom de grad, ar trebui să fie o interpolare, t. E. La greutățile sale, formula (4) să fie valabilă, este ușor de verificat pentru orice cules.
Gradul de precizie algebric al formulei de cvadratură (2) este un număr întreg astfel încât formula de cvadratură să fie exactă pentru toate polinomii
grad și în jos.
Teorema 1. Formula de cvadratură (2) pe un sit este o formulă de cvadratură de interpolare dacă și numai dacă are un grad de precizie algebric.
Teorema 2. Dacă o funcție, atunci pentru diferența dintre integrale (1) și aproximarea sa cu formula de cvadratură de interpolare (2)
Dovedește această teoremă folosind estimarea pentru eroarea de interpolare a funcției și teorema 1.
Gaussiană cu un grad mai mare de precizie algebrică
Astfel, pe orice sistem de noduri, formula de cvadratură de interpolare (2) este exactă pe un spațiu liniar de dimensiune a tuturor polinomilor de grad cel mult.
Întrebarea apare în mod natural: este posibil să se mărească precizia algebrică a formulei de cvadratură datorită alegerii acestor noduri (parametru)?
Formula de cvadratură (2) este determinată de parametri și se poate spera că ele pot fi alese astfel încât formula să fie exactă pentru polinomii de grad, dar nu mai mult.
Teorema 3. Formula de cvadratură (2) de pe un sit nu poate avea un grad de precizie algebric.
Dovada (prin contradicție).
Să presupunem că există o formulă de cvadratură cu grad de acuratețe algebric.
Apoi, prin Teorema 1 este o interpolare și este exact pe un polinom de grad, adică. dar
, deoarece (nodurile quadraturii sunt rădăcinile polinomului),
, deoarece funcția este aproape peste tot.
În consecință, contradicția obținută în ipoteza dovedește teorema.
Teorema 4. Dacă formula de cuadratură (2) la nodul are gradul de precizie algebrică, ea interpolare și polinoame ortogonale cântărind toate polinoamele o mai mică măsură, și anume condițiile definite ..:
Fie formula de cvadratură a gradului de acuratețe algebric. Apoi, prin Teoremă 1, este o interpolare.
Deoarece gradul de polinom nu depășește, formula de cvadratură (2) este exactă pe ea și
care urma să fie dovedită.
Teorema 5. Dacă un polinom este ortogonal cu greutate la toate polinomii de grad mai mic, atunci formula de cvadratură de interpolare (2) are un grad algebric de precizie.
Deoarece formula de cvadratură (2) se interpolează, prin teorema 1 este exactă pe polinomiale la o putere.
Putem reprezenta un polinom arbitrar de grad în formă, împărțit prin.
deoarece prin ipoteza teoremei polinomul este ortogonal la polinomii de grad mai mic, iar formula de cvadratură de interpolare (2) este exactă pe polinomii de grad.
Pe de altă parte,
,care urma să fie dovedită.
Astfel, formula de cuadratură interpolare (2), dacă și numai dacă (Teorema 4 și 5) există o polinoame ortogonale polinomial cu greutate mai mică, cu rădăcini distincte în intervalul.
Teorema 6. Un polinom ortogonal cu greutate pentru toate polinomii de grad inferior:
există, este unică și are rădăcini simple pe, adică, noduri de cuadratură (Gauss) cu gradul cel mai înalt algebric de precizie.
Evident, pentru a determina coeficienții unui polinom, avem un sistem de ecuații algebrice liniare
Pentru existența și unicitatea soluției sale este necesar și suficient ca sistemul omogen
a avut doar soluția zero. Să presupunem că sistemul omogen (6) are o soluție. Apoi, înmulțind ecuația și adăugând rezultatele obținute
din care rezultă că toate trebuie să fie zero.
Rămâne să cercetăm rădăcinile polinomului.
Să presupunem că toate rădăcinile reale ale unui polinom au o multiplicitate uniformă,
adică unde polinomul este definit în mod identic.
Dar, deoarece, atunci polinomul trebuie să schimbe semnul, ceea ce contrazice derivarea de la ipoteza parității tuturor rădăcinilor lui.
În consecință, polinomul are rădăcini de multiplicitate ciudată.
Fie rădăcinile multiplicității ciudate a unui polinom.
Dacă (), atunci toate rădăcinile sunt pereche distincte și se demonstrează teorema.
unde este definit polinomul.
Dar, deoarece gradul de polinom este mai mic, este ortogonal pentru el, adică,
din care rezultă că trebuie să-și schimbe semnul, ceea ce contrazice concluzia de la ipoteza semnului-claritate.
În consecință, teorema este demonstrată.
Teorema 7. Dacă funcția, atunci exactitatea calculului integral (1) în raport cu formula gaussiană (2) în teren este estimată de următoarea inegalitate:
Dovada este lăsată ca un exercițiu.
Convergența cadrelor Gauss
O proprietate remarcabilă a quadraturilor Gauss este convergența lor pentru orice funcție (rețineți că polinomul de interpolare nu converge la o funcție continuă arbitrară).
Teorema 8. Dacă o funcție, atunci formula de cvadratură de interpolare (2) converge la integrale (1) pentru un nod cu greutăți pozitive.
Deoarece, prin teorema lui Weierstrass, există un astfel de polinom
Apoi, pentru formula de cvadratură de interpolare (2) pe nodurile distincte pereche este exactă pe polinomul u
care urma să fie dovedită.
Lema. Greutățile cuadraturilor Gauss sunt pozitive.
Cvadratura Gaussiană (2) este exactă pe polinomi la o putere și, prin urmare, este exactă pe un polinom de grad:
Stabilitatea formulelor de cvadratură
Adesea, dintr-un motiv sau altul, valorile funcției integrabile la noduri sunt date cu eroarea :.
dacă quadratura este exactă pe o constantă și greutățile sale sunt pozitive.
Prin urmare, rezultă că mici modificări ale funcției integrabile schimbă valoarea aproximativă a integrului puțin independent de numărul de noduri de cvadratură.
Exemple de formule de cvadratură
În această secțiune, pentru a aproxima un integrat definit
1. construim exemple de formule de cvadratură de interpolare
pe un nod cu greutăți
2. Noi găsim gradul lor de acuratețe algebric: pentru aceasta este necesar și suficient să se găsească un întreg maxim astfel încât
3. Să concretizăm estimarea erorii de cvadratură de interpolare la cel de-al nodului cu grad de precizie algebric: