Ce este ALGEBRA? (rezumatul cursului)
Ce este algebra?
Rezumat prelegere Golovnyak V.V.
De fapt. pentru a prezenta acest subiect în mod consecvent, trebuie să discutăm mai întâi subiectele: "Ce este aritmetica?", "Ce este geometria?".
După acest subiect, puteți trece la următoarele: "Ce este o funcție?", "Ce este trigonometria?". Dar vor fi doar două prelegeri pentru lipsa de timp.
Aceasta este prima prelegere.
1. În ambele prelegeri, voi aborda o abordare foarte specifică a subiectului examinării mele. În cazul în care toți elevii împărțit relația lor la matematică în trei grupe (1, cei care nu știu, frica de ea, și au la ea „nesatisfăcător“, 2 cei care o cunosc și sunt în măsură să decidă și să ia examenele, 3 - cei care nu numai că știu, dar, de asemenea, se vor conecta cumva viata lor viitoare cu matematica), atunci această abordare este potrivită pentru 1 și 2 grupuri.
Metafora: cine ar trebui să știe cum sunt aranjate rozetele și robinetele din apartament? - doar unul care vrea să devină instalator electric, constructor sau cel care trebuie să repare însuși echipamentul care se prăbușește în locul în care trăiește.
Această abordare se bazează pe faptul că voi discuta cum este construită matematica, în acest caz - algebra: ce elemente constă din ea, cum arată, cum să lucrați cu ea (sau în ea). Prin urmare, este clar despre cine are nevoie această abordare - pentru cineva care în viitor intenționează să construiască noi "algebre", sau pentru cineva care dorește să "de la zero" și să stăpânească rapid algebra școlară.
2. Prima teză: algebra - este foarte simplu!
Acest lucru nu înseamnă că algebra este ușoară, trebuie să vă deplasați puțin. Dar este simplu, în sensul că constă în elemente simple. La fel ca și cotletul de lemn de foc constă în mișcări foarte simple. Dar este nevoie de o mulțime de efort și persoana care leagă lemnul, după un timp obosită.
A doua teză: algebra este o limbă! (În urma lui David Gilbert, care a susținut că matematica este o limbă).
Limba este necesară pentru ca comunicarea să transmită semnificația. de la o persoană la alta. În acest scop, frazele acestei limbi, compilate conform anumitor reguli, servesc.
De ce oamenii învață limbi diferite, ce le oferă în afară de capacitatea de a comunica în alte țări? Răspunsul este că - fiecare limbă are cuvinte. care nu există în alte limbi, permite astfel să descrie (și să vadă) astfel de fenomene pe care o persoană nu le-ar fi văzut niciodată dacă nu cunoștea această limbă. Cunoașterea unei alte limbi vă permite să obțineți o viziune mai diferită de celelalte. (Eschimoșii în limba există 20 de cuvinte diferite pentru zăpadă, în contrast cu geruri imediat pasit din Rusia, în cazul în care singura. Deși, de exemplu, în limba rusă există cuvântul „Prezent“ pentru a descrie crusta formată pe zăpadă, după dezgheț, urmat. Există, probabil, alte cuvinte care descriu condițiile speciale de zăpadă).
3. Ce parte a lumii vă permite să vedeți limba matematică? Număr, Ordin, Formă - tot ceea ce este legat de aceste fațete ale lumii.
3. Pentru a înțelege cum să construiți și să înțelegeți expresii ale unui limbaj matematic, luați în considerare o expresie, de exemplu:
2 + 2
În limbă există precepte. prescrie pentru a efectua anumite acțiuni și există expresii - descrieri care descriu un obiect.
Luați în considerare expresia de mai sus mai întâi ca o rețetă și apoi ca o descriere.
Ca precept poate fi citit după cum urmează: "Luați numărul 2, luați încă un număr 2, ori aceste numere și după semnul" = "scrie ce sa întâmplat."
Omul, înțeles și respectat această cerință este de a produce în mintea și pe o bucată de pașii de mai sus pentru a „lua numărul 2“, „ori“, pentru a obține rezultatul plus (suma), notați rezultatul după semn special „=“, care în acest caz înseamnă , după care se înregistrează "rezultatul operației".
Ca o descriere, ea poate fi înțeleasă ca o "bibliotecă" formată din mai multe nivele: o operațiune de adăugare cu locuri în două termeni, umplând aceste locuri (numere).
Un exemplu mai complex:
a xx + b x + c
Aici raftul este format din trei nivele:
Cele două operații de adunare, unul devine „intrare“ rezultatul unei alte operațiuni, „operanzi“ - nu este doar un număr, iar „variabila“ sau chiar auto-exprimare, care poate fi substituit „operandului“.
O astfel de cruce între o bibliotecă și o păpușă rusă.
4. Apare conceptul de "variabilă" - vă puteți imagina sub forma unei casete cu eticheta de nume, conținutul căsuței poate varia. Este indicat (inscripția de pe etichetă) cu literele latine a, b, c sau x, y, z.
5. Care este diferența dintre aceste scrisori? X, Y, Z - este variabile necunoscute, care suntem invitați să găsească, ca urmare a, a, b, c - variabilele pe care noi, așa cum au fost cunoscute înainte de începerea rezolvării problemei, dar ele pot fi arbitrare. Acest lucru ne permite să scriem formule pentru a găsi necunoscute ca și când pentru orice valoare a a, b, c. (pentru orice coeficienți sau, după cum spun matematicienii, "într-o formă generală").
6. Recepția principală, generează algebra de aritmetică este că suntem necunoscute pentru a ne notăm cu litera x (variabilă) și apoi lucra cu ea ca un necunoscut la un cunoscut (pentru a efectua operații matematice pe el).
7. Un exemplu al problemei de la care apare algebra ca instrument de rezolvare a acestor probleme.
"Două tractoare au arat un teren de 120 de hectare. Se știe că a doua arătură de două ori mai mult decât prima. Câți ați arat? "
Nu știm cât de mult a arat prima, dar putem pretinde că știm și spunem: "lăsați primul plug". În acest lucru, întregul truc pe care o face algebra - necunoscutul devine "așa cum era" cunoscut. Acum puteți face acest lucru "ca și cum ar fi cunoscut" toate acele operații care sunt descrise în sarcină:
- aflați cât de mult a doua ară - 2 x,
- aflați cât de mult au arat împreună - x + 2 x
Acum noi "ca și cum" știm cât de mult au arat împreună. Acum trebuie să "comparăm" această CUNOȘTINȚĂ cu alte cunoștințe din aceeași sarcină - se știe că împreună au arat 120 de hectare. Prin urmare, "compara" (egalizează):
X + 2X = 120
Au primit "ecuația" - cântarele formate din două cupe (stânga și dreapta) pe care sunt egalizate "greutăți".
Odată ce ecuația este făcută, puteți uita de situația descrisă în sarcină. De ce? Din moment ce deja am scos din ea toate "cunoștințele" conținute în ea, referitoare la ordine și cantitate - au fost deja "ascunse" în "ecuațiile-greutăți".
Acum puteți acționa numai cu ecuația, dar acționați conform unor reguli strict definite.
8. Aceste reguli sunt împărțite în 4 grupe:
- reducerea termenilor de exprimare similare
-eliminarea parantezelor / dezvăluirea parantezelor, parantezele sunt "semne de punctuație" speciale în limba matematică.
- transferul termenului "membru" dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare a semnului său
- împărțirea / multiplicarea ambelor părți ale egalității cu același număr care nu este egal cu 0.
Particularitatea acestor reguli este că acestea reglementează acțiunile noastre cu "literele" și "cuvintele" limbajului matematic. gruparea și rearanjarea "literelor" și "cuvintelor" ca lucruri speciale. În același timp ne garantează că "semnificația matematică" a acelei "expresii matematice", ale cărei cuvinte le permităm, nu se va schimba sub toate aceste permutări. Cu excepția cazului în care, desigur, încălcăm aceste reguli.
De unde provin aceste reguli? Ei au dovedit de matematicieni ca o teoremă specială, și a trecut „calculatoare“ ca un rețete gata făcute (aici este necesar pentru a discuta despre diferenta dintre un matematician și un calculator - primul vine în sus și se dovedește algoritmii și formulele, iar al doilea, pur și simplu folosite pentru a facilita calculul).
Aici este încă necesar să explicăm ce este un "înțeles matematic" care nu se schimbă atunci când se aplică regulile. Aceasta este ceea ce matematicienii numesc "sensul unei expresii"; ce se întâmplă dacă înlocuim variabilele în expresia numerelor și executăm acțiunile prescrise. Deci, expresia înainte de transformare. efectuată conform regulilor, iar expresia după aceste transformări are același înțeles. Se pare doar "mai simplu" (conține mai puține variabile și operații) - am "simplificat" -ul prin jonglarea cu "litere" și "cuvinte" ale acestei expresii matematice. Dacă, desigur, nu au fost încălcate regulile de "jonglare".
9. De aici este clar de ce sa făcut algebra. Algebra este un instrument simplu pentru calcule. (un instrument complex pentru simpleton nu ar fi disponibil).
Așa că simpletonii și cei îndrăgostiți ar putea, cu ajutorul acestui instrument, să rezolve problemele computaționale, supuse numai matematicienilor înțelepți.
Un astfel de "amplificator al inteligenței".
Înțelepții sunt întotdeauna puțini (și sunt leneși) și există întotdeauna multe sarcini computaționale.