Factorul determinant al unei matrice de ordinul trei este un număr, calculat prin formula:
.
Această formulă se numește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus.
La calcularea determinantului al treilea ordin este convenabil de a folosi următoarea diagramă care prezintă lucrările unor elemente preluate din semnul „+“, și ceea ce „-“:
4. Proprietățile determinantului ordinii a treia, ca urmare a regulii acceptate a calculului său. Calculul determinantului ordinii a treia prin extinderea într-o coloană (rând).
a) Proprietatea 1. Dacă toate elementele unui rând (coloană) al determinantului ordinii a treia sunt zero, atunci determinantul este zero.
Proprietatea 2. Criteriul de ordinul 3 nu se modifică dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane cu aceleași numere.
3. În cazul în care conversia de proprietate două rânduri (coloane) determinantul al treilea ordin, valoarea determinantului srl nu se va schimba, iar semnul se va schimba la opusul.
Corolar. Determinantul ordinii a treia, în care coincid orice două rânduri (coloane), este zero.
Proprietatea 4. Dacă toate elementele unui rând (coloană) al determinantului ordinii a treia sunt înmulțite cu un anumit număr, atunci determinantul se înmulțește cu acest număr.
Corolar 1. Dacă toate elementele unui rând (coloană) au un factor comun, atunci acest factor poate fi luat în afara semnului determinantului.
Corolarul 2. Dacă toate elementele unui rând (coloana) a determinantului al treilea ordinul sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale celuilalt rând (coloana) a determinantului, determinantul este zero.
Proprietatea 5. Dacă fiecare element dintr-un rând (coloana) a determinantului de ordinul 3 este suma celor doi termeni, determinant și poate fi reprezentat ca o sumă a doi termeni, de exemplu:
b) Dacă D = | A | - determinantul de ordinul n, atunci elementul minor Mij Aij numit determinant de ordinul n-1, care se obține din D prin ștergerea rândului i-lea și coloana j-a. Prin complementul algebric Aij al elementului aij ne referim la minorul Mij. înmulțit cu (-1) i + j. și anume Aij = (-1) i + j Mij
Sistemul a trei ecuații liniare cu trei necunoscute are forma
compus din coeficienți pentru necunoscuți, se numește determinant al sistemului.
1. Dacă determinantul sistemului. atunci sistemul (7) are o soluție și singurul. Această soluție se găsește prin formule
Din aceasta putem concluziona că valoarea sistemului necunoscut (7) este o fracțiune a cărei numitor este determinant al sistemului, iar numărătorul este determinantul obținut din determinantul sistemului înlocuindu-l în coloana coeficienților unei coloane definit printr-o termeni constanți necunoscute.
Factorii determinanți ai numărătorilor fracțiunilor (9) vor fi notați cu Dx, respectiv. Dy. Dz.
2. Dacă D = 0, dar cel puțin unul dintre minorii săi și cel puțin unul dintre determinanții Dx. Dy și Dz nu sunt egale cu zero, atunci sistemul (7) nu are soluții. În acest caz, ei spun că este contradictoriu sau inconsistent.
3. Dacă D = 0 și toți determinanții din numerotatorii fracțiunilor (9) sunt Dx. Dy. Dz - sunt egale cu zero, adică dacă
dar cel puțin unul dintre minori în determinant D nu este egal cu zero, un sistem de ecuații (7) este o consecință a celorlalte două, și un sistem de trei ecuații (9), se reduce la două ecuații, soluțiile cele două ecuații satisfac treia. În acest caz, sistemul (9) are un set infinit de soluții și se numește nedeterminat.
4. Dacă toți minorii în determinant D este egal cu zero, dar cel puțin unul dintre minori în unele dintre determinantele Dx, Dy, Dz nu este zero și cel puțin unul dintre coeficienții necunoscutelor nu este zero, atunci sistemul este incompatibil și nu face a.
5. Dacă factorii determinanți D, Dx, Dy, Dz toți minorii sunt zero, dar cel puțin unul dintre coeficienții necunoscutelor este non-zero, atunci cele două ecuații sunt rezultatul al treilea și sistemul de trei ecuații se reduce la o ecuație este nesigură și a un set infinit de soluții, iar soluțiile acestei a treia ecuații satisfac ecuațiile primei și celei de-a doua.
7. Având în vedere o masă pătrată formată din numere situate în n orizontală și în n-verticale. Cu ajutorul acestor numere, în conformitate cu anumite reguli, se calculează un anumit număr, care se numește determinant al ordinului n și este notat după cum urmează:
Rândurile orizontale din determinantul (1) sunt numite rânduri verticale - coloane determinante -elements (primul subscriptul este numărul rând, al doilea - numărul coloanei, care se află la intersecția unui element; i = 1, 2. n; j = 1, 2. n). Ordinea determinantului este numărul de rânduri și coloane.
FEATURE 1. Valoarea determinantului nu se modifică în cazul în care toate liniile sale de a înlocui coloanele, cu fiecare rând înlocuiți coloana cu același număr, și anume,
PROPRIETAȚIUL 2. Permutarea a două coloane sau două rânduri a determinantului este echivalentă cu multiplicarea cu -1. De exemplu,
PROPRIETATE 3. Dacă determinantul are două coloane identice sau două linii identice, atunci acesta este egal cu zero.
PROPRIETATI 4. Inmultirea tuturor elementelor dintr-o coloana sau un rand al determinantului cu orice numar k este echivalenta cu multiplicarea determinantului cu acest numar k. De exemplu,
PROPRIETATE 5. Dacă toate elementele unei coloane sau a unui rând sunt egale cu zero, atunci determinantul însăși este egal cu zero. Această proprietate este un caz particular al celei anterioare (pentru k = 0).
PROPRIETATE 6. Dacă elementele corespunzătoare a două coloane sau două linii ale determinantului sunt proporționale, atunci determinantul este zero.
PROPRIETATE 7. Dacă fiecare element coloană n-lea sau determinantul rândul n este suma a doi termeni, factorul determinant poate fi reprezentat ca o sumă a doi factori determinanți, dintre care unul este în coloana n-lea sau, respectiv rând n-lea are primul din termenii menționați, iar al doilea - al doilea; Elementele care stau pe celelalte locuri sunt aceleași la reperele celor trei determinanți. De exemplu,
PROPRIETATE 8. În cazul în care elementele unei coloane (sau o linie) relevantă pentru a adăuga alte elemente de coloană (sau alte linii), înmulțită cu orice factor comun, valoarea determinantului nu se schimba. De exemplu,
Proprietățile suplimentare ale determinanților sunt legate de noțiunea de complement algebric și minor. Minorul unui element este un determinant obținut dintr-un anumit mod prin ștergerea unui rând și a unei coloane la intersecția a cărui element este situat.
Cofactor oricărui element al determinant este egal cu minorul elementului, luat cu semnul său, în cazul în care cantitatea de numere de linie și de coloană, care se află la intersecția elementului, există un număr chiar și cu semnul opus, în cazul în care acesta este un număr impar.
Vom desemna complementul algebric al unui element printr-o literă mare cu același nume și același număr ca și litera care denotă elementul însuși.
PROPRIETATE 9. determinant
este egal cu suma produselor elementelor din orice coloană (sau rând) prin complementul lor algebric.
Cu alte cuvinte, urmăresc următoarele ecuații: