A este matricea acestei transformări.
Determinantul matricei A nu depinde de alegerea cadrului.
Vom numi acest determinant determinant al transformării afine Φ și o vom denumi cu simbolul sau.
Sensul geometric al determinantului unei transformări afine este clarificat de următoarea propoziție:
Propozitia 1. Fie X o figura arbitrara planara si lasa X 'sa fie o figura obtinuta de ea printr-o transformare afina Φ. Apoi aria lui X' este egala cu aria lui X inmultita cu valoarea absoluta a determinantului transformarii Φ:
Corolarul. Zona s unei elipse cu semiaxurile a și b (mai precis, aria regiunii delimitată de această elipsă) este exprimată prin formula
Dovada. Zona unui cerc de rază a este egală, după cum este bine cunoscut. Dar o elipsă cu semiaxe a și b este obținută din acest cerc prin stoarcerea planului la unul din diametrele sale cu un coeficient. Prin urmare,
§ 2. Sistem de afinitate echi
Definiție 1. O transformare afină Φ este numită equiaffine dacă.
Conform propozitiei 1,
o transformare afină este echivalenta dacă și numai dacă păstrează zonele, adică atunci când aria oricărei figuri planare X este egală cu aria figurii transformate X '.
Transformările echivalente includ toate transformările ortogonale. Cu toate acestea, există, de asemenea, transformări non-ortogonale equiaffine.
mulțimea tuturor transformărilor equiafinice este un grup.
Geometria cu acest grup se numește geometrie echivalenă, iar planurile corespunzătoare sunt numite avioane equiaffine. Spre deosebire de geometria afină, conceptul de zonă are sens în geometria echivalenței. Este o zonă naturală în care se recomandă construirea unei teorii a zonelor.
Două sisteme de coordonate afine cu cadre și; apoi și numai atunci determină același plan equiaffine atunci când bivectorii u coincid sau diferă în semn, adică atunci când paralelele construite pe vectori și. au aceeași zonă. Aceasta arată că planul equiaffine nu este altceva decât un plan afinizat pe care este dat un standard de zonă (o regiune a cărei zonă este luată ca o unitate).
Bineînțeles, aici, atunci când alegem diferite standarde de zonă, obținem din același plan afin diferite avioane echivalente.
Atunci când se formulează declarații de geometrie echiafinică referitoare la zone, trebuie să se acorde atenție. De exemplu, corolarul de mai sus al zonei de elipsă, așa cum a fost formulat, nu aparține geometriei equiaffine, deoarece conține lungimile semicuplurilor a și b. ceea ce înseamnă că geometria equiafinică nu are. Pentru a obŃine formularea "equiaffine" a acestui corolar, este suficient să notăm că, conform teoremei Apollonius, aria unui paralelogram construită pe o pereche arbitrară de raze conjugate a unei elipse este egală cu ab. Prin urmare, putem spune asta
raportul dintre suprafața elipsei și suprafața paralelogramului construit pe perechea razei conjugate este.
Această formulă în geometria echivalenței este deja pe deplin înțeleasă.
Nota1. În mod evident Apollonius teorema rezultă din posibilitatea de a reprezenta imaginea arbitrară ca o elipsă la un cerc la o transformare afină, la fel ca în cazul circumferinței este banală (o zonă pătrată, construită pe o pereche de raze cerc perpendicular este egală cu pătratul razei cercului).
Nota 2. Declarația despre zona elipsei poate fi formulată și după cum urmează:
raportul dintre suprafețele unei elipse și un paralelogram construit pe o pereche de raze conjugate este.
Fiți atenți la diferența subtilă, dar semnificativă între ultimele două rânduri: în timp ce în prima formulare, vorbim despre atitudinea zonei de o formă (elipsă), în zona de o altă formă (paralelogram), a doua formulare a întrebării se referă la relația dintre domeniile cifrelor. Deoarece, în conformitate cu propunerea de 1 pentru orice transformare afină a zonei tuturor cifrelor sunt multiplicate cu același număr independent de cifra, pentru oricare două X și Y formează raportul dintre ariile lor este invariant afin. Cu alte cuvinte, deși geometria afină și nu se poate spune despre zona o singură cifră, dar conceptul raportului dintre suprafața dintre cele două cifre are sens complet (la fel cum are sens conceptul relației dintre lungimile celor două linii paralele). Astfel, cea de-a doua formulare de mai sus are sens în geometria afinã, în timp ce cea dintâi este doar în cea de echivalenã.
Varianta geometriei echivalente, în care grupul de transformări equiafinice care păstrează orientarea este considerat a fi un grup fundamental, este, desigur, de asemenea posibil. În această geometrie, conceptul de zonă orientată are sens.
§3. Transformări afine și proprietățile lor.
OPREDELENIE.Preobrazovanie plan afin sau nazyvaetsyaaffinnym spațiu afin, dacă oricare trei puncte coliniare ea are nevoie de trei puncte coliniare ( „reține raportul coliniaritate“).
REMARK 1. Spunem că o linie corespunde unei linii în transformarea afină Φ.
Proprietatea 1. Transformarea afină Φ individualizează fiecare linie pe linia corespunzătoare.
Proprietatea 2. Transformarea Φ transformă liniile paralele în linii paralele.
Proprietatea 3. Transformarea afină Φ desenează fiecare jumătate de linie pe jumătatea de linie corespunzătoare.
Proprietatea 4. Transformarea afină Φ individualizează fiecare segment pe segmentul corespunzător.
Proprietatea 5. Transformarea Φ transformă segmentele paralele în segmente paralele.
Pentru a formula următoarea proprietate a transformărilor afine, luăm în considerare două puncte distincte M1, M2 și o linie dreaptă care trece prin ele. Fie k o relație în care un punct M al liniei drepte împarte segmentul direcționat. Pentru o transformare afară arbitrară Φ punctele coliniare M1, M2. M va trece la punctele colineare și, prin urmare, va fi determinat raportul, în care punctul împarte segmentul.
Proprietatea 6. Există o egalitate
adică transformarea afină păstrează relația în care punctul dat împarte intervalul dat.
Întrucât punctele interioare ale unui segment sunt caracterizate de o condiție, această proprietate implică
Corolar. Transformarea Φ transformă fiecare punct intern al segmentului în punctul interior al segmentului.
§4. Similaritate ca un caz special al unei transformări afine
Opredelenie2. O transformare afină Φ este numită o transformare a similitudinii dacă păstrează unghiurile dintre linii, adică dacă există două linii (se intersectează) și se transformă în linii și care formează același unghi.
toate transformările de similitudine formează un grup.
Geometria corespunzătoare se numește geometria similitudinii. Cifrele care sunt egale în această geometrie, adică cifrele care sunt convertite între ele printr-o transformare a similitudinii, sunt numite similare.
Să arătăm că acest concept de asemănare coincide cu cel obișnuit, cunoscut din cursul elementar, adică faptul că două cifre sunt dacă și numai dacă, după o deplasare corespunzătoare, ele sunt homotetice. În acest scop, în mod evident, este suficient pentru a arăta că orice transformare similitudine este compoziția unor transformări ortogonale (mișcare sau mișcare plus simetrie) și o homothety, m. F. de conversie, exprimată în sistemul ales corespunzător de coordonate x dreptunghiulare, formule y ale formei
unde h este coeficientul de homothety.
Pentru aceasta, la rândul său, este suficient să se arate că o transformare a formei
atunci și numai atunci păstrează unghiurile dintre linii atunci când, atunci când este o homothety.
Dar acest lucru este clar. Într-adevăr, transformarea duce axa abscisă în sine și linia cu ecuația
- în linie dreaptă cu ecuația
Prin urmare, unghiul dintre axa abscisa și linia dreaptă este păstrat în transformare dacă și numai dacă. când
Pentru a trece de la geometria asemănării cu geometria euclidiană, este suficient să alegem un standard de lungime.
Capitolul II. Geometria lui Galileo și numerele duale