Invarianți adiabatici

O proprietate importantă a variabilelor de acțiune este proprietatea invarianței adiabatice, care constă în faptul că variabilele de acțiune păstrează valorile lor constante, iar în acele cazuri în care hamiltonianul sistemului depinde de timpul prin intermediul unor parametri

Invarianți adiabatici
, care, așa cum se spune, se schimbă adiabatic cu timpul, adică foarte încet. Prin lent înseamnă astfel de schimbări, sub care
Invarianți adiabatici
putina schimbare pentru perioade de timp, egala in ordinea marimii cu perioadele
Invarianți adiabatici
, care este,

Este clar că astfel de sisteme mecanice nu sunt strict izolate. Arătăm că variabilele de acțiune în astfel de sisteme sunt invariante adiabatice.

Luați în considerare un sistem care coincide în fiecare moment cu sistemul conservator studiat mai sus, care permite o separare completă a variabilelor. Presupunem de asemenea că mișcarea sistemului este finită. Hamiltonianul unui astfel de sistem depinde în mod evident de parametrii

Invarianți adiabatici
, care îndeplinesc condițiile (61.11); acesta poate fi reprezentat în formă

Cu constanta

Invarianți adiabatici
sunt funcții periodice ale coordonatelor corespunzătoare
Invarianți adiabatici
;
Invarianți adiabatici
în acest caz sunt funcții periodice ale timpului.

Dacă parametrii

Invarianți adiabatici
schimba lent în timp, în ciuda faptului că sistemul descris de hamiltonianul (62,11) nu este conservatoare, soluția ecuației Hamilton-Jacobi poate fi solicitată într-o formă aproape (24,11):

unde, totuși, parametrii

Invarianți adiabatici
, și, prin urmare, cantitățile
Invarianți adiabatici
și
Invarianți adiabatici
schimbă încet cu timpul. Înlocuind (63.11) în ecuația Hamilton-Jacobi și neglijând în ea termeni proporțional cu
Invarianți adiabatici
, obținem ecuația aproximării "zeroth"

Prin (61.11), această ecuație poate fi rezolvată prin asumarea tuturor

Invarianți adiabatici
sunt constante și numai în soluțiile construite ele sunt considerate a fi funcții date de timp. Prin urmare, toate formulele obținute mai sus pentru sistemul conservator rămân valabile, dar toate relațiile includ acum parametrii dependenți de timp
Invarianți adiabatici
.

Funcția de generare a transformării canonice de la variabile

Invarianți adiabatici
la variabile
Invarianți adiabatici
este determinată de funcție
Invarianți adiabatici
, care acum, totuși, va depinde
Invarianți adiabatici
:

Observăm asta

Invarianți adiabatici
depinde, de asemenea
Invarianți adiabatici
.

Se scriu formulele pentru transformarea canonică generată de funcție (65.11):

Noile ecuații de mișcare au forma

În toate formulele diferențierea cu privire la

Invarianți adiabatici
Ar trebui făcută constant
Invarianți adiabatici
și
Invarianți adiabatici
; după diferențiere, substituția (67.11) și derivații din formulele (69.11), (70.11)
Invarianți adiabatici
sunt exprimate prin.

Pentru a demonstra proprietatea invarianței adiabatice a variabilelor

Invarianți adiabatici
În medie, ecuațiile (70.11) într-un interval de timp care este mic în comparație cu timpul unei modificări notabile a parametrilor
Invarianți adiabatici
și suficient de mare în comparație cu perioadele sistemului. Cu o astfel de alegere a intervalului de timp,
Invarianți adiabatici
(din cauza schimbării lente
Invarianți adiabatici
) poate fi scos din sub semnul mijlocului. Prin urmare,

Acum arătăm că derivatele

Invarianți adiabatici
sunt funcții periodice cu valoare unică
Invarianți adiabatici
. Dacă este așa, atunci ele pot fi descompuse în serii Fourier, coeficienții cărora vor depinde
Invarianți adiabatici
și
Invarianți adiabatici
. La rândul său, seria Fourier pentru derivate
Invarianți adiabatici
nu vor conține termeni constanți și, prin urmare, atunci când medierea pe un interval de timp suficient de mare, toate instrumentele derivate
Invarianți adiabatici
Invarianta adiabatică a tuturor
Invarianți adiabatici
va fi dovedit.

Observăm asta

Invarianți adiabatici
- funcția ambiguă a coordonatelor
Invarianți adiabatici
, deoarece în conformitate cu (66.11) ea poate fi reprezentată în formă

Pentru întreaga perioadă de schimbare a coordonatelor

Invarianți adiabatici
(pentru restul fix)
Invarianți adiabatici
incrementat

funcții

Invarianți adiabatici
- funcțiile unice ale coordonatelor, deoarece în diferențierea cu privire la
Invarianți adiabatici
aditivi, multipli
Invarianți adiabatici
, care duc la ambiguitate
Invarianți adiabatici
, va dispărea. deoarece
Invarianți adiabatici
- funcții unice ale coordonatelor
Invarianți adiabatici
, atunci ele sunt funcții periodice ale variabilelor unghiulare
Invarianți adiabatici
; aceste funcții nu își vor schimba valorile atunci când se schimbă
Invarianți adiabatici
pe
Invarianți adiabatici
(pentru valori date
Invarianți adiabatici
). Cu alte cuvinte, orice funcție unică
Invarianți adiabatici
, exprimată în termeni de variabile canonice
Invarianți adiabatici
este o funcție periodică a fiecăruia
Invarianți adiabatici
cu o perioadă egală cu
Invarianți adiabatici
. Deci toate
Invarianți adiabatici
sunt funcții periodice cu valoare unică
Invarianți adiabatici
. Am arătat mai sus că în acest caz totul
Invarianți adiabatici
și, prin urmare, toate

Se dovedește proprietatea invarianței adiabatice a tuturor variabilelor de acțiune.

Un exemplu. Cum se va schimba energia unei particule încărcate e de masă m în câmpul central U (r) atunci când câmpul magnetic slab omogen de intensitate H este pornit lent?

Se scrie funcția Hamilton a unei încărcări într-un sistem de coordonate sferice (axa Oz a unui sistem de coordonate cartezian este paralelă cu H):

aici

Invarianți adiabatici
- viteza luminii. Prin condiția problemei, câmpul magnetic este slab și, prin urmare, ultimul termen (quadratic în H) este neglijat.

Ecuația Hamilton-Jacobi ia în considerare acest lucru

unde

Invarianți adiabatici
- energia particulelor,
Invarianți adiabatici
-ciclotronice.

Se caută soluția în formă

Aici, ca o constantă

Invarianți adiabatici
am ales
Invarianți adiabatici
. substituind
Invarianți adiabatici
în (74.11), obținem

Ecuația (75.11) definește funcția necesară pentru a calcula variabila de acțiune

Invarianți adiabatici
:

în mod evident,

Invarianți adiabatici
va coincide cu
Invarianți adiabatici
, calculată pentru caz
Invarianți adiabatici
, dacă în ultima expresie, în loc de
Invarianți adiabatici
înlocuiți o combinație
Invarianți adiabatici
Prin urmare, cantitatea
Invarianți adiabatici
rămâne constant atunci când câmpul magnetic omogen este pornit lent. În afară de aceasta, cantitatea
Invarianți adiabatici
- componentă a impulsului generalizat de încărcare. Conform sensului fizic
Invarianți adiabatici
- Proiecția conservată a momentului unghiular al sarcinii pe vectorul H.

Articole similare