1. Sarcina optimizării alegerii consumatorului
Consumatorul, care are un venit, vrea să-l cheltuiască și, bineînțeles, cu beneficiul maxim. Beneficiul este înțeles în sensul unui sistem al preferințelor sale sau al funcției sale de utilitate. În activitatea noastră, am analizat modul în care puteți optimiza alegerea consumatorului.
Sarcina optimizării alegerii consumatorului
Esența optimizării alegerii consumatorului.
Alegerea (X 1 *. X 2 *) este alegerea optimă pentru consumator. O multitudine de seturi, pe care el preferă să (X 1 *. * 2 X), și anume, o multitudine de seturi, este situat deasupra curbei de indiferență nu se intersectează seturile pe care le poate permite să cumpere, și stabilește o linie bugetară. Astfel, setul (X 1 *, X 2 *) este cel mai bun set pe care consumatorul îl poate permite.
Pentru a examina această problemă, ar trebui să o folosim ca o aplicație de găsire a unui extremum condițional cu ajutorul multiplicatorilor Lagrange.
Cum își aleg consumatorii individuali câte produse achiziționează, luând în considerare preferințele și constrângerile bugetare? Presupunem că consumatorii fac această alegere din motive raționale - aceștia aleg bunurile astfel încât să maximizeze satisfacția primită, având în vedere bugetul limitat de care dispun.
Un coș de piață care îndeplinește cerințele trebuie să îndeplinească două condiții:
Ar trebui să fie pe linia bugetară. De ce? Rețineți că orice coș de piață situat la stânga și sub linia bugetară lasă o parte din venitul care nu a fost cheltuit, care, fiind cheltuit, ar putea crește satisfacția consumatorilor. Desigur, consumatorii pot - și uneori - pot economisi o parte din venituri pentru consumul viitor. Cu toate acestea, pentru moment vom simplifica situația, presupunând că toate veniturile sunt cheltuite imediat. De asemenea, rețineți că orice coș de piață la dreapta și deasupra liniei bugetare nu poate fi achiziționat la nivelul actual al venitului. De aceea singura alegere rațională și fezabilă este un coș care se află pe linia bugetară.
Ar trebui să ofere consumatorului cea mai preferată combinație de bunuri și servicii.
Aceste două condiții reduc problema satisfacției maxime a consumatorilor la problema alegerii punctului potrivit pe linia bugetară.
Dacă analizăm grafic problema de a alege un consumator între alimente și îmbrăcăminte, putem concluziona că coșul care aduce satisfacția maximă ar trebui să se bazeze pe cea mai înaltă curbă de indiferență față de linia bugetară. În punctul de atingere a liniei bugetare și a curbei de indiferență, panta liniei bugetare este exact egală cu panta curbei de indiferență. Având în vedere că rata limită de substituție (MRS) este o valoare negativă, curba de înclinare inversă indiferență, se poate spune că respectarea atinge un maxim (pentru o anumită constrângere bugetară), la punctul în care
Sarcina optimizării alegerii consumatorului poate fi considerată ca o aplicare a metodei de a găsi extremumul condițional al multiplicatorilor Lagrange.
Presupunem că fiecare element are un pi de preț, iar persoana are un venit de Q - o anumită sumă de bani, în care acesta acționează, cumpără-i un set de produse dorite. Pentru achiziționarea unui set de mărfuri X = (xi, ..., xn) este necesar să se cheltuiască bani în sumă de c (X) = xi pi + ... + xn = pn
Astfel, o persoană poate cumpăra doar un set X pentru care PX ≤ Q. În consecință, mulțimea de seturi de bunuri care îi sunt disponibile la un venit Q. este B = B (P, Q) =. Acest set este numit setul de buget. Setul de buget este limitat și închis.
Dovada. Fie r = min pi. atunci, după cum este ușor de văzut, dacă X B, atunci x≤Q / r pentru i = 1, ..., n, adică setul B este limitat. Să dovedim închiderea. Fie Xk B pentru fiecare k N și Xk Z. Apoi, având în vedere continuitatea funcției liniare
PXk PZ și, deoarece PXk ≤Q, apoi PZ≤Q. Prin urmare, Z B.
Limita unui set de buget este setul G =. Frontiera lui G este un segment în cazul a două mărfuri, parte a planului delimitat printr-un triunghi, în cazul a trei mărfuri și, în general, există o parte a hiperplanului în spațiul bunurilor.
Suportabil stabilit B (P, Q), în funcție de Q venit și sistemul P preț, ci de la orice caracteristici individuale, cum ar fi sistemul său de preferință independent.
Consumatorul, care are un venit, vrea să-l cheltuiască și, bineînțeles, cu beneficiul maxim. Beneficiul este înțeles în sensul unui sistem al preferințelor sale sau al funcției sale de utilitate. Aceasta duce la următoarea problemă de programare matematică.
Găsiți un set de mărfuri X = (xi, ..., xn), maximizarea funcției de utilitate u (xi, ..., xn), atunci când constrângerea bugetară PX = pi xi + ... + xn ≤Q; PN În sensul problemei, toate variabilele iau o valoare ne-negativă, adică xi ≥ 0, i = 1, ..., n.
Problema în discuție poate fi formulată mai succint:
Deoarece u (X) - o funcție continuă a argumentelor sale, iar bugetul stabilit într-un număr limitat și compact, atunci u (X) atinge în setul maxim, și anume, soluția problemei 1 există. Este evident că orice punct X funcție * maxim c (X) este traversată G a setului de buget. Într-adevăr, dacă presupunem contrariul, și anume, că Z - punctul maxim, dar Z G, apoi PZ 0. Dar apoi Y, dar ar putea u (Z + Y)> U (Z). Datorită faptului că fiecare produs este de dorit. Acest lucru contrazice faptul că Z - punct maxim al funcției c (X) pentru a stabili bugetul.
Presupunerea: Dacă u (X) este strict concavă, atunci soluția problemei (1) este unică, adică există un singur punct maxim al funcției de utilitate din bugetul setat.
Reamintim că o funcție u (X) se spune a fi strict concavă dacă, pentru orice X, Y, din faptul că 0 λ u u (X) + (1-λ) u (Y).
Dovada. Să presupunem că A și C sunt două puncte de maxim, adică u (X) u (A) = u (C) pentru orice punct X al setului B. Știm deja că punctele A și C se află la limita setului de buget; PA = PC = Q. Luați în considerare punctul E = A / 2 + C / 2. Vedem că PE = P (A / 2 + C / 2) = Q, adică E. În virtutea concavității stricte a funcției u (X), avem u (E)> u (A) = u (C). Avem o contradicție cu faptul că A și C reprezintă punctele maxime ale funcției pe setul de buget.
Deci, cu concavitatea strictă a funcției de utilitate, există un singur punct de maximă funcție de utilitate în setul de buget. Astfel, consumatorul nu are nici măcar posibilitatea de a-și petrece banii cu cea mai mare sumă de bani. există un singur set de produse care maximizează utilitatea. Acest punct unic de maxim se numește un punct de cerere sau pur și simplu o cerere a consumatorului. Acest punct este notat cu X *.
Studiem punctul de cerere. Până în prezent sa stabilit doar că trebuie să se afle la granița bugetului stabilit. Astfel, problema (1) se reduce la următoarele:
Această problemă poate fi rezolvată cu ajutorul multiplicatorilor Lagrange. Noi compunem funcția Lagrange L (X, λ) = u (X) + λ (Q-PX), găsim derivatele parțiale și le echivalăm cu zero:
Astfel, există un singur punct maxim al funcției de utilitate la bugetul stabilit.
În consecință, consumatorul nu are nici măcar posibilitatea de a-și petrece banii cu cel mai mare beneficiu, pentru că există un singur set de produse care maximizează utilitatea. Acest punct unic de maxim se numește un punct de cerere sau pur și simplu o cerere a consumatorilor.