Punct limită

Definiția și tipurile de puncte limită

Un punct x este numit punctul limită al unui subset A al unui spațiu topologic X. dacă fiecare cartier perforat al lui x are o intersecție non-goală cu A.

Punctul x este numit punctul strict limitativ al subsetului A. dacă fiecare vecinătate a lui x are un număr infinit de puncte comune cu A. Pentru spațiile T1 (adică spațiile în care toate punctele (seturi cu un punct) sunt închise), noțiunea de punct limită și un punct strict limitativ sunt echivalente.

Punctul x se numește punctul de acumulare completă a subsetului A. dacă pentru orice vecinătate U a punctului x, cardinalitatea intersecției U ∩ A este egală cu cardinalitatea setului A.

Concepte și proprietăți înrudite

• Toate punctele din setul A sunt împărțite în două tipuri: puncte limită și puncte izolate. Un punct izolat este un punct x care are o vecinătate care nu are alte puncte comune cu A, cu excepția lui x. Un subset de A. constând din acest punct, este deschisă în A (în topologia indusă).

• Setul tuturor punctelor limită ale lui A se numește setul său derivat și este notat cu A '. Toate punctele limită ale setului intră în închiderea A ¯>. Mai mult decât atât, urmărește egalitatea: A ¯ = A ∪ A '= A \ cupa A'>. din care se obține cu ușurință următorul criteriu pentru închiderea subseturilor. Setul A este închis dacă și numai dacă conține toate punctele limită.

• Dacă x este un punct limită al setului A. atunci există o direcție de puncte de la A. convergând la x.

• În spații metrice. dacă x este un punct limită al setului A. atunci există o secvență de puncte în A convergând la x. Spațiile topologice pentru care se află această proprietate se numesc spații Frechet-Uryson.
• Un spațiu topologic X este compact dacă și numai dacă fiecare subset infinit în el are cel puțin un punct de acumulare completă în X.

• Un spațiu topologic X este compact compact dacă și numai dacă fiecare subset infinit în el are cel puțin un punct limită strict în X. Fiecare compact este compact compact. Pentru spațiile metrice conversația este, de asemenea, adevărată (criteriul pentru compactitatea unui spațiu metric): un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este contabil compact.

• Un set închis într-un spațiu Hausdorff se spune că este perfect. dacă fiecare dintre punctele sale este un punct limită (adică dacă setul nu conține puncte izolate). Exemple de seturi perfecte sunt segmentul de linie dreaptă, setul Cantor.

Punctul limită al unui set numeric

În special, punctul unei linii de numere este numit punctul limită al unui set numeric având un număr infinit de elemente. în orice cartier din care există infinit mai multe elemente ale acestui set. De asemenea, putem lua în considerare punctul limită al unui astfel de set - ∞. dacă din unele dintre elementele sale este posibil să se compună o secvență infinit de mare, cu perechi de elemente negative distincte. Dacă este posibilă compunerea unei secvențe infinit de mari, cu elemente pozitive distincte pereche, atunci putem lua în considerare punctul limită + ∞ [1].

Punctul limită superior al unui set numeric este cel mai mare dintre punctele sale limită.

Punctul limită inferior al unui set numeric este cel mai mic dintre punctele sale limită.

• Pentru orice set numeric limitat având un număr infinit de elemente, există atât limite superioare cât și inferioare (în setul de numere reale). Dacă adăugăm ∞ și + ∞ mulțimii numerelor reale. apoi în setul rezultat, punctele limită au în general toate seturile numerice cu un număr infinit de elemente.

• Din elementele oricărui set numeric limitat având un număr infinit de elemente, putem selecta o secvență convergentă ale cărei elemente sunt pereche distincte.

Punctul limită al unei secvențe de numere

Punctul limită al unei secvențe este un punct în orice cartier din care există infinit de multe elemente ale acestei secvențe [1].

x este punctul limită al secvenței n = 1 ∞ ⇔ \ right \> _ ^ \ Leftrightarrow> ⇔ ∀ ε> 0 ∃ X ⊆ N. | X | = 0 0 ∧ ∀ i ∈ X. | x i - x | <ε

\ există X \ subseteq \ mathbb \ colon \ left | X | right | = \ aleph _ \ land \ forall i \ în X \ colon \ left | x_ -x \ right |<\varepsilon>

Cel mai mare punct limită al unei secvențe se numește limita superioară. iar cel mai mic punct limită este limita inferioară.

Uneori, setul de puncte limită posibile include "- ∞" și "+ ∞". Astfel, dacă o secvență infinit de mare poate fi distinsă de secvență, toate elementele fiind negative, atunci spunem că "- ∞" este punctul limită al acestei secvențe. Dacă din secvență putem selecta o subsecțiune infinit de mare, cu elemente exclusiv pozitive, atunci spunem că "+ ∞" este punctul său limită [1]. În acest caz, desigur, secvența poate avea și alte puncte limită.

• Un punct este un punct limită al unei secvențe dacă și numai dacă o secvență poate fi selectată din această secvență. convergând la acest punct. x este punctul limită al secvenței n = 1 ∞ ⇔ ∃ n = 1 ∞ ∀ i ∈ N. k i _ ^ \ Leftrightarrow \ există \ left \\ right \> _ ^ \ forall i \ in \ mathbb \ colon= x> Uneori, această proprietate este luată ca definiție, iar definiția de mai sus este pentru o proprietate.
• Fiecare secvență numerică convergentă are doar un punct limită. x. x 'sunt punctele limită ale secvenței n = 1 ∞ ∧ lim n → ∞ x n ⇒ x = x '\ dreapta \> _ ^ \ teren \ exista \ lim _x_ \ Rightarrow x = x'>
• Punctul limită al oricărei secvențe numerice convergente coincide cu limita sa. x este punctul limită al secvenței n = 1 ∞ ∧ lim n → ∞ x n ⇒ lim n → ∞ x n = x \ right \> _ ^ \ land \ exists \ lim _x_ \ Rightarrow \ lim _x_ = x>
• Pentru orice set finit de puncte este posibil să se construiască o secvență pentru care aceste puncte vor fi limitative și nici una altele decât ele.
• O secvență numerică arbitrară are cel puțin un punct limită (fie real, fie infinit).

• Pentru o succesiune de <1> n = 1 ∞ _ ^> există un punct limită unic 1 (deși nu este un punct limită al setului de valori ale elementelor dintr-o secvență constând dintr-un element).
• Secvența <1 / n> n = 1 ∞ _ ^> există un punct limită unic de 0.
• O secvență de numere naturale n = 1 ∞ _ ^> nu există puncte limită (sau, în alte condiții, există un punct limită + ∞).
• Secvența <( − 1 ) n> n = 1 ∞ \ right \> _ ^> există două limite: -1 și +1.
• O secvență a tuturor numerelor raționale n = 1 ∞ \ right \> _ ^>. numerotate în mod arbitrar, există multe puncte limită infinit.

Punctul limită al direcției

• Un punct este un punct limită al unei direcții dacă și numai dacă există o sub-direcție care converge la acest punct.
  • În special, un punct este un punct limită al unei secvențe dacă și numai dacă există o sub-direcție. convergând la acest punct.
  • Dacă fiecare punct al unui spațiu topologic are o bază numerică, atunci în subsecțiunea anterioară putem vorbi despre subsecvențe.

Fie A = [0, 1] direcționată în ordine crescătoare. În direcția <α> α ∈ A _> există un punct limită unic 1> în spațiul topologic [0, 1].

Articole similare

• Puncte limită de secvență

• Punctele limită ale secvenței 1

• Cosmetice pentru bărbați pentru față, piele combinată, puncte negre - cel mai bun forum feminin de slăbire