Vectorii sunt obiecte matematice (a, b, c, ...) pentru care sunt definite două operații algebrice:
· Adăugarea a doi vectori a + b = c
· Multiplicarea unui vector cu un număr a • a = b.
Cea mai importantă caracteristică a acestor operații este că, datorită execuției acestora, obținem întotdeauna un vector de același tip ca vectorii originali. Prin urmare, având un set inițial de vectori, îl putem extinde treptat, adică obțineți din ce în ce mai mulți vectori noi, aplicând vectorilor existenți operațiile de adăugare și multiplicare cu un număr. În final, ajungem la un astfel de set de vectori, care nu se vor mai extinde, i. E. vor fi închise cu privire la aceste operațiuni. Un astfel de set de vectori se numește spațiu vectorial.
Dacă sunt îndeplinite condițiile de liniaritate suplimentare la efectuarea acestor operații:
atunci spațiul rezultat se numește un spațiu liniar (LP) sau un spațiu vectorial liniar (LCS). LCS poate, împreună cu grupurile de simetrie, să servească drept un alt exemplu de structuri matematice care sunt seturi închise de obiecte de același tip și ordonate într-un anumit mod (cu ajutorul operațiilor algebrice).
Având operațiunile de adăugare a vectorilor și multiplicarea lor cu numere, putem construi o construcție mai complexă de tipul:
care se numește combinația liniară (LC) a vectorilor a, b, c. cu coeficienții a, b, g,. . respectiv.
Conceptul de LC ne permite să formulam mai multe reguli generale:
· Fiecare LC al oricărui vector al unui AP este, de asemenea, un vector al aceluiași LP;
· Orice vector al unor LP poate fi reprezentat sub formă de LC a mai multor vectori ai aceluiași LP;
· În orice LP există un astfel de set de vectori numiți un set de bază (sau pur și simplu o bază), că toți, fără excepție, vectorii acestui LP pot fi reprezentați ca combinații liniare ale acestor vectori de bază distincți. O condiție importantă este impusă vectorilor aleși ca bază: ei trebuie să fie independenți liniar între ei (nu ar trebui să fie exprimați între ei, adică x ≠ a × y).
Aceste reguli fac posibilă introducerea unui mod special de descriere a oricărui LP. Alegem un set de bază și descompunem toate vectorii care ne interesează din această bază (adică le reprezentăm sub formă de vectori bazați pe LC); apoi fiecare vector poate fi definit unic prin intermediul unui set de coeficienți ai LC care corespund unui vector dat. Acești coeficienți sunt numiți coordonatele vectorului (cu privire la baza dată). Subliniem că coordonatele vectorului sunt numere obișnuite, iar reprezentarea coordonatelor vectorului ne permite să o descriem prin intermediul unui set de numere, indiferent de semnificația fizică specifică pe care o impunem asupra conceptului vectorului.
Să luăm în considerare un exemplu concret. Să avem un set de amestecuri diferite de două substanțe chimice pure: apă și alcool. Printre toate amestecurile posibile se disting două deosebite:
1) un amestec de S1. conținând apă 100% și alcool 0%;
2) un amestec de S2. conținând 0% apă și 100% alcool.
Este clar că un amestec arbitrar poate fi reprezentat sub formă de LC a acestor două amestecuri de bază:
și o caracteriza complet cu doar două coordonate de numere: n1 și n2. Cu alte cuvinte, pentru un set de bază dat, putem stabili echivalența unui amestec chimic arbitrar și a unui set de numere:
Acum este suficient să înlocuiți cuvântul chimic de beton "amestec" cu termenul matematic abstract "vector" pentru a obține un model de HDL care descrie o multitudine de amestecuri de două substanțe.