Sarcina pentru studenți pe numărul 2 practic pe acest subiect
Scopul lecției. Învață să rezolvi exemple și sarcini pe această temă
Probleme teoretice (nivel de bază)
1. Aplicarea de derivate pentru studiul funcțiilor pe un extremum.
2. Diferența unei funcții, semnificația ei geometrică și fizică.
3. Diferența completă a unei funcții a mai multor variabile.
4. Starea organismului în funcție de multe variabile.
5. Calcule aproximative.
6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferențialului total.
7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.
1. răspunde la întrebări despre tema lecției
Găsiți diferențele dintre următoarele funcții:
Utilizarea derivaților pentru studiul funcțiilor
Condiția pentru creșterea funcției y = f (x) pe intervalul [a, b]
Condiția pentru scăderea funcției y = f (x) pe intervalul [a, b]
Condiția pentru funcția maximă a funcției y = f (x) pentru x = a
Dacă x = un derivat f '(a) = 0 și f „(a) = 0, atunci este nevoie mo investiga f' (x), în vecinătatea punctului x = a. Funcția y = f (x) la x = a are un maxim atunci când tranziția prin punctul x = un derivat f „(x) își schimbă semnul de la«+»la«-», în cazul minim - cu«-»la«+»dacă f“ (x) nu se schimbă semnul când trecând prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția extremum nu are
Diferența unei variabile independente este egală cu creșterea acesteia:
Diferența funcției y = f (x)
Diferența dintre suma (diferența) a două funcții y = u ± v
Diferența dintre produsul a două funcții y = uv
Diferența unei anumite două funcții y = u / v
Δy = f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f '(x) • Δx
unde Δx: este creșterea argumentului.
Calculul aproximativ al valorii funcției:
f (x + Δx) ≈ f (x) + f '(x) • Δx
Aplicarea diferenței în calcule aproximative
Diferența este utilizată pentru a calcula erorile absolute și relative pentru măsurătorile indirecte u = f (x, y, z). Eroare absolută a rezultatului măsurătorii
Eroare relativă a rezultatelor măsurătorilor
Diferențial al unei funcții ca parte principală a creșterii unei funcții. Conceptul diferențial al unei funcții este strâns legat de conceptul de derivat. Să presupunem că funcția f (x) este continuă pentru valorile date ale lui x și are un derivat
Definim ordinea infinitezimalului a (Dx) Dx cu privire la Dx infinitezimale:
În consecință, un infinitezimal a (Dx) Dx are o ordine mai mică de mică decât o infinitezimală Dx. adică, o (Dx) Dx = o [Dx].
Astfel, o creștere funcție diferențiabilă Df infinitezimal poate fi reprezentată prin doi termeni: un infinitezimal f ¢ (x) dx de același ordin de mărime cu Dx și infinitezimal a (dx) Dx ordine mai mare în comparație cu infinitezimal Dx. Acest lucru înseamnă că, în ecuația Df = f ¢ (x) dx + a (dx) Dx Dh® 0 când al doilea termen converge la zero "mai repede" decât primul, adică o (dx) Dx = a [f ¢ (x ) Dx].
Primul summand f ¢ (x) Dx, liniar față de Dx. se numesc diferențialul funcției f (x) la punctul x și denotă dy sau df (citiți "de igrack" sau "de eff"). Și așa,
Sensul analitic al diferențialului constă în faptul că diferența funcției este partea principală a creșterii funcției Df. liniar cu privire la incrementarea argumentului Dx. Diferența funcției diferă de creșterea funcției printr-o infinitezimă de ordin mai mic decât Dx. Intr-adevar, Df = f ¢ (x) dx + a (dx) Dx sau Df = df + a (dx) este egal cu ei Dx.Differentsial argumentadx prirascheniyuDx: dx = Dx.
Un exemplu. Calculați valoarea diferenței funcției f (x) = x 3 + 2x, când x variază de la 1 la 1.1.
Soluția. Să găsim expresia generală a diferenței dintre această funcție:
Înlocuind dx = Dx = 1,1-1 = 0,1 și x = 1 în ultima formulă obținem valoarea dorită a diferenței: df ½x = 1; = 0,5.
DERIVAȚII ȘI DIFERENȚIALI DIVERSE.
Derivații parțiali ai primei comenzi. Derivatul parțial de ordin prim al funcției z = f (x, y) în raport cu argumentul x la punctul (x; y) în cauză este limita
dacă există.
Derivatul parțial al funcției z = f (x, y) în raport cu argumentul x este notat cu unul din următoarele simboluri:
În mod similar, derivatul parțial cu privire la y este notat și este definit prin formula:
Deoarece derivatul parțial este derivatul obișnuit al unei funcții a unui argument, nu este greu de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să folosim toate regulile de diferențiere luate în considerare, luând în considerare în fiecare caz care dintre argumente este luat ca un "număr constant" și care servește ca o "variabilă de diferențiere".
Notă. Pentru a găsi un derivat parțial, de exemplu cu privire la argumentul x -df / dx. este suficient să găsim derivatul obișnuit al funcției f (x, y), presupunând ultima funcție a unui argument x. și y este o constantă; pentru a găsi df / dy - dimpotrivă.
Un exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale funcției f (x, y) = 2x 2 + y 2 la punctul P (1; 2).
Soluția. Presupunând că f (x, y) este o funcție a unui argument x și folosind regulile de diferențiere, găsim
La punctul P (1; 2), valoarea derivatului
Presupunând că f (x; y) este o funcție a unui argument y, aflăm
La punctul P (1; 2), valoarea derivatului
CONDUCERE PENTRU ACTIVITATEA INDEPENDENTĂ A STUDENTULUI:
Găsiți diferențele dintre următoarele funcții:
Rezolvați următoarele sarcini:
1. Cât va scădea aria pătratului cu fața x = 10cm, dacă partea este redusă cu 0,01 cm?
2. Ecuația de mișcare a corpului este dată: y = t 3/2 + 2t 2. unde s este exprimată în metri, t în secunde. Găsiți calea s traversată de corp după t = 1.92 s de la începutul mișcării.
1. Lobotskaya N.L. Fundamentele matematicii superioare - M. "Școala superioară", 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Trans. cu engleza. M. "Lumea", 1970.
3. Remizov A.N. Isakova N.Kh. Maksina L.G. Colectarea problemelor din fizica medicală și biologică - M. "Școala superioară", 1987. С16-20.