§7.4 Rânduri și lucrări
Calcularea sumei unei serii și a produselor.
Sumele finite și infinite sunt calculate prin executarea directă a sumei și executarea întârziată Suma. Argumentele acestor comenzi aceeași: suma (expr, n = a..b), unde expr - expresia, în funcție de indicele de însumare, a..b - limitele indicelui sumării, indicând faptul că rezumate după cum urmează din n = a la n = b.
Dacă doriți să calculați suma unei serii infinite, infinitatea este introdusă ca limită superioară.
In mod similar calculat echipele de lucru ale produsului direct (P (n), n = a..b) și amânat acțiunea produsului P (n), n = a..b).
Activitatea 4.1.
1. Găsiți sumele totale și N-particule ale unei serii a căror termen comun este: an =.
> S: = limită (rhs (S [N]), N = + infinit);
2. La ce functie converg seria de putere :?
> Suma ((- 1) ^ (n + 1) * n ^ 2 * x ^ n, n = 1..infinitate) =
3. Găsiți suma unei serii de putere.
4. Găsiți suma seriei binomiale.
> Suma (binomial (n, 4) * (1-x) ^ n, n = 1..infinitate) =
5. Calculați produsul infinit:
Extinderea unei funcții într-o serie de putere și o serie Taylor.
Extinderea funcției f (x) într-o serie de putere în vecinătatea punctului a
este efectuată de seria (f (x), x = a, n), unde a este punctul în vecinătatea căruia se realizează extinderea și n este numărul de termeni din serie.
Taylor comandă acțiune similară (f (x), x = a, n) Funcția f se descompune (x) într-o vecinătate a lui x = a la n -1 ordine formula lui Taylor.
Comenzile seriei și Taylor returnează rezultatul seriei de tip. Pentru a putea lucra în continuare cu descompunerea rezultată, ar trebui transformată într-un polinom folosind comanda convert (%, polynom).
Funcția de multe variabile f (x1, ..., xn) poate fi extins într-un set de serie Taylor de variabile (x1, ..., xn), într-o vecinătate a unui punct (a1, ..., an) de ordinul n folosind comanda mtaylor (f (x), [ x1, ..., xn], n). Această comandă se află în biblioteca standard, așa că trebuie readlib (mtaylor) să fie apelat înainte de utilizare.
Alocarea 4.2.
1. Extindeți într-o serie de putere în vecinătatea lui x0 = 0, păstrând primii cinci termeni.
> f (x) = seria (exp (-x) * sqrt (x + 1), x = 0, 5);
2. Construiți într-o singură figură graficele erorii integrale și extinderea acesteia într-o serie Taylor într-un vecin de zero.
> taylor (erf (x), x, 8): p: = conversie (%, polinom);
Linia punctată arată graficul seriei Taylor, iar linia solidă arată funcția însăși.
3. Extindeți seria Taylor într-o vecinătate a punctului (0, 0) până la ordinul 6.
> f = mtaylor (sin (x ^ 2 + y ^ 2), [x = 0, y = 0], 7);
Crearea propriilor proceduri. Extinderea funcției într-o serie Fourier.
În Maple, puteți crea propriile proceduri. Procedura începe cu antetul. Antetul constă în numele procedurii (utilizatorul se definește ea însăși), urmată de operatorul obligatoriu de atribuire: = și cuvântul de serviciu proc. după care parametrii formali ai procedurii sunt indicate în paranteze printr-o virgulă.
Pentru a evita problemele legate de funcționarea procedurii, se recomandă ca în bara de titlu a procedurii să descriem variabilele care vor fi utilizate numai în interiorul corpului procedurii (se numesc variabile locale). Pentru aceasta, utilizați cuvântul local. după care variabilele locale sunt enumerate printr-o virgulă.
După ce antetul urmează corpul principal al procedurii, constând din comenzi compuse de utilizator, ultima comandă va afișa rezultatul final al procedurii. Procedura trebuie să se încheie în mod necesar cu sfârșitul cuvântului de serviciu.
Vizualizarea generală a procedurii (sintaxa standard):
> nume: = proc (var1, var2, ...) locale vloc1, vloc2, ...;
Maple nu are o comandă care să permită extinderea unei funcții într-o serie Fourier trigonometrică. Cu toate acestea, puteți crea o procedură proprie pentru extinderea seriei Fourier. Să presupunem că este necesar să se descompună pe intervalul [x1, x2] 2l o funcție periodică f (x). Apoi seria Fourier are forma:
Primii n termeni ai seriei Fourier pot fi obținuți prin următoarea procedură:
> fourierseries: = proc (f, x, x1, x2, n) local k, l,
Procedura de accesare a acestei proceduri este următoarea: fourierseries (f, x, x1, x2, n). unde f - denumirea funcției a cărei extindere este necesară pentru a găsi, unde x - numele variabilei independente, unde x1, x2 - interval de descompunere, unde n - numărul de termeni ai seriei.
Activitatea 4.3.
În primul rând, completați rutina furierseries. propusă mai sus în partea teoretică.
> complot (, x = x1..x2, culoare = [albastru, negru],
Linia punctată prezintă graficul sumei n-particulare a seriei Fourier, iar linia solidă prezintă funcția în sine. Prin forma sumei n-particule a seriei Fourier în acest exemplu, este ușor să se stabilească forma generală a acestei serii:
> Plot (, x = x1..x2, culoare = [negru, albastru, verde, roșu], grosime = 2, = tip linie [1,3,2,2]);
Linia solidă prezintă graficul funcției, liniile întrerupte reprezintă graficele sumei n-particule din seriile Fourier. Se vede că, cu cât se mențin mai mult termenii seriei, cu atât mai aproape este graficul sumei seriei față de graficul funcției în sine.