. Studiul și soluția liniară
ecuaţiile
Având în vedere un sistem de ecuații liniare
Dovedeste compatibilitatea si decide: 1) metoda Gauss; 2) mijloace de calcul matriceal.
Pentru a dovedi compatibilitatea este de a dovedi că un sistem dat are cel puțin o soluție. Pentru a dovedi coerența sistemului (4.1), putem folosi Teorema (1.2) a lui Kronecker-Capelli.
În cazul în cauză
Este necesar să se demonstreze că rangul A = a fost apelat.
Pentru a calcula rangul unei matrici, se poate folosi metoda marginalizării minorilor. Un minor de ordin k + 1, care conține un ordin minor k. se numește minorul fringing.
Dacă există o matrice A minor și toți minorii sale de flancare, r (A) = k.
În cazul în care numărul de ecuații ale sistemului coincide cu numărul de necunoscute, putem folosi teorema lui Cramer (1.1) pentru a dovedi compatibilitatea.
1) Aplicarea metodei Gauss pentru sistemele de trei ecuații liniare de rezolvare este eliminarea secvențială a necunoscutelor în sistemul de ecuații (4.1) pentru a aduce la o formă triunghiulară:
În acest caz, sunt permise următoarele transformări elementare ale sistemului, conducând la sisteme echivalente echivalente:
a) permutarea ecuațiilor în sistem;
b) multiplicarea ambelor parti ale ecuatiilor cu acelasi numar nu este egala cu zero;
c) adăugarea la ambele părți ale ecuației a părților corespunzătoare celeilalte ecuații înmulțite cu același număr;
d) eliminarea ecuațiilor cu forma 0 = 0.
În sistemul rezultat (4.2), se calculează a treia ecuație și valoarea sa este substituită în a doua ecuație, apoi se calculează și se substituie de la a doua ecuație împreună cu ecuația 1-a, după care se calculează din prima ecuație.
2) Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin intermediul calculului matricei este necesar:
a) se calculează determinantul matricei sistemului dat și se verifică dacă acesta. Dacă, atunci nu este aplicabilă metoda matricei;
b) găsiți matricea inversă la matricea A. prin formula:
unde sunt complementele algebrice ale elementelor matricei A (în cazul nostru
i, j = 1, 2, 3). Ne amintim că complementul algebric este egal cu determinantul obținut din elementele matricei A după ștergerea rândului i și a coloanei j a acestei matrice înmulțite cu un factor egal cu;
c) găsiți soluția sistemului utilizând formula :.
Un exemplu. Având în vedere un sistem de ecuații liniare
Dovedeste compatibilitatea si decide: 1) metoda Gauss; 2) mijloace de calcul matriceal.
Soluția. Să dovedim compatibilitatea. Să scriem matricea extinsă a sistemului
și să-și găsească rangul. Elementul de matrice din colțul din stânga sus este diferit de zero, prin urmare. Printre minorii de ordinul doi care învecinează (inclusiv) acest element, există, de asemenea, nenul, de exemplu:
De la al treilea rând, minorii care se învecinează, îi luăm pe minori:
Deoarece, atunci, și din moment ce matricea minorilor de ordinul al patrulea nu există, atunci. De atunci, atunci și. Astfel, compatibilitatea este demonstrată.
1) Aplicăm metoda Gauss la rezolvarea acestui sistem.
Pasul 1. Înmulțim prima ecuație a sistemului cu 1/2, astfel încât coeficientul de la x1 devine egal cu unul.
Pasul 2. Membrii prima ecuație, mai întâi se înmulțește cu -3 și adăuga membri la a doua ecuație, și în al doilea rând, la -5 se multiplică și se adaugă membrilor treia ecuație. Ca rezultat, obținem sistemul:
Pasul 3. Se adaugă termenii celei de-a doua ecuații la termenii ecuației a treia. Ca rezultat, obținem:
Astfel, sistemul original este redus la un sistem echivalent de formă triunghiulară. După cum știți, are o soluție unică. Rezolvați acest sistem, începând cu ultima ecuație:
2) Aplicăm metoda matricei la soluția sistemului. Formăm matrice constând din elementele sistemului:
a) Determinantul sistemului, astfel încât metoda matricei este aplicabilă.
b) Noi scriem sistemul in forma matriceala:
c) Calculăm complementul algebric:
Înlocuind valorile găsite în formula (4.3), obținem:
d) Folosim formula sau
4.2. Determinarea coordonatelor vectoriale relative la
dată
Un exemplu. Sunt oferite vectori: într-o anumită bază. Arătați că vectorii formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.
Soluția. Se compune determinantul din coordonatele vectorilor și se calculează prin extindere, de exemplu, pe prima linie:
Deoarece 0 vectorii formează o bază (vezi Secțiunea 1.9).
Vom găsi coordonatele vectorului în raport cu baza, adică coeficienții numerici 1, 2, 3 descompunere
Prin definirea egalității vectorilor și determină operațiile de adăugare a vectorilor și multiplicarea unui vector cu un număr, atunci când știi coordonatele vectorilor în raport cu o bază, ecuația vectorială din urmă poate fi scrisă sub forma unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:
Rezolvând acest sistem, de exemplu, în conformitate cu formulele lui Cramer, găsim:
Cercetarea și soluții de sisteme de ecuatii liniare Fiind dat un sistem de ecuații liniare 1) Dovedește împreună și să decidă: 1) Metoda Gauss; 2) mijloace de calcul matriceal
Programul de examene de admitere la magistratură în direcția 010100. 68 Matematică Programul a fost discutat la reuniunea departamentului IT
O nouă metodă directă pentru rezolvarea sistemelor de ecuații dimensionale algebrice are un curs direct și invers. Datorită eliminării procedurii de selectare a elementului principal, stabilitatea sa computațională