Diferențe finite ale diferitelor comenzi
y = f (x) este notat cu
![Diferențe finite ale diferitelor ordine (diferențe) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-388a09be.png)
Să găsim incrementarea funcției
Se numește diferența finală 1, diferența finală n este calculată prin formula:
Fie f (x) un polinom de grad n
Proprietățile diferențelor finite:
Exprimăm diferențele finite în ceea ce privește funcțiile
Să presupunem că funcția y = f (x) are derivatul nth pe interval, atunci putem scrie că derivatul nth al funcției
![Diferențe finite ale diferitelor comenzi (diferențe finite ale diferitelor comenzi) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-f5a76cb7.png)
Tabel diferență finită
Trebuie să luăm în considerare funcția dată în tabel
Diferențele finite ale secvenței yi sunt definite de relație
Ne amintim binomul lui Newton, se poate arăta că a șaptea diferență finală yi poate fi reprezentată ca sumă
Aceste diferențe finite sunt aranjate convenabil sub formă de tabele:
De cele mai multe ori, în practică, se folosește o masă orizontală, arată astfel:
Declarația problemelor de aproximare a unei funcții, o problemă generală de interpolare, cea mai simplă problemă de interpolare.
O putere generalizată n a unui număr x este produsul factorilor n din care primul este x, iar fiecare este factorul următor. pe h este mai mică decât cea anterioară.
X [n] este denumirea.
Să găsim diferența finită pentru puterea generalizată.
Declarația problemei interpolării
Cele mai simple probleme de interpolare sunt următoarele:
Aceste puncte sunt numite noduri de interpolare, pentru aceste noduri de interpolare, valoarea unor funcții y = f (x)
Funcția F (x) se numește interpolare.
Expresia analitică f (x) este foarte complexă sau necunoscută.
Geometric, acest lucru înseamnă că este necesar să se găsească y = F (x), cu unele proprietăți suplimentare, în special F (x), trece prin punctul (xi, yi), yi = f (xi) i = 1, n
![Diferențe finite de ordine diferite (finite) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-c69dddda.png)
Problema din această formulă poate avea un set infinit de soluții.
Problema devine rezolvată în mod unic, în cazul în care funcția y = f (x) polinomul considerat y = Pn (x) de grad nu mai mare de n, care satisface condiția Pn (xi) = yi i = 0, n.
n- număr de puncte. Funcția de interpolare rezultată este adesea folosită pentru a aproxima valorile funcției y = f (x) în punctele care nu coincid cu nodurile de interpolare
O astfel de operație se numește interpolarea funcției f (x).
Interpolarea se distinge într-un sens îngust și într-un sens larg. Această operație se numește extrapolare.
Prima formulă de interpolare a lui Newton (formula generală și formulele pentru interpolarea liniară și patratică).
Fie y = f (x) dată de punctele sale yi = f (xi) i = 0, n, unde xi = x0 + ih. h este etapa de interpolare.
Considerăm un polinom de grad y = Pn (x) care satisface condiția Pn (xi) = yi (1)
Condiția (1) este echivalentă cu egalitatea:
Calculând prima diferență finită a polinomului Pn (x) (vezi (2)) și presupunând că x = x0, obținem
![Diferențe finite ale diferitelor comenzi (diferite) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-7b9cbae0.png)
Găsirea celei de-a doua diferențe finite și cea înclinată care x = x0
![Diferențe finite ale diferitelor comenzi (diferențe finite ale diferitelor comenzi) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-26e36915.png)
![Diferențe finite ale diferitelor comenzi (diferențe finite ale diferitelor comenzi) Diferențe finite ale diferitelor comenzi](https://images-on-off.com/images/164/konechnieraznostirazlichnixporyadkov-ae117d65.png)
Înlocuirea coeficientului ai în (3). obținem:
- primul polinom Newton.
De obicei, primul polinom Newton este scris într-o formă mai convenabilă:
Formula (4) este incomodă pentru aplicarea practică. Prin urmare, a fost introdus al doilea polinom Newton de interpolare: