1) Ecuația valurilor. (Ecuația vibrațiilor unui șir, vibrațiile electrice, oscilațiile torsiunii unui arbore etc.) Aceasta este cea mai simplă ecuație de tip hiperbolic.
2) Ecuația conductivității termice. (Ecuația Fourier) Aceasta este cea mai simplă ecuație de tip parabolic. Descrie procesele de conducere a căldurii, filtrarea fluidelor și gazelor și câteva întrebări legate de teoria probabilităților.
3) Ecuația lui Laplace. Aceasta este cea mai simplă ecuație de tip eliptic. Descrie câmpurile magnetice și electrice, hidrodinamica, difuzia etc.
În aceste ecuații, funcția u depinde de două variabile, cu toate acestea, problema poate fi extinsă în cazul a trei variabile:
1) Ecuația valurilor:
2) Ecuația conductivității termice:
3) Ecuația lui Laplace:
Să analizăm fiecare dintre aceste ecuații în detaliu.
Ecuația oscilațiilor unui șir.
Definiția. În fizica matematică, un șir este un șir în care tensiunile pot avea loc numai în direcția longitudinală, dar nu în direcția transversală.
Să se fixeze capetele șirului strunjit la punctele x = a și x = b, tensiunile care apar în el vor fi notate cu T. De asemenea, vom presupune că densitatea șirului este constantă pe toată lungimea sa.
Să presupunem că la momentul t0 = 0 șirul este îndepărtat din starea de echilibru și face oscilații mici.
Abaterea șirului la fiecare punct cu coordonate x la momentul t va fi notată cu