1. Învățați cum să clasificați ecuațiile diferențiale parțiale
2. Aflați cum să deduceți forma canonică a unei ecuații diferențiale parțiale.
Folosind schimbarea variabilelor unei ecuații de ordinul doi
dăm una din ecuațiile simple. Presupunând că coeficientul introducem noi variabile independente unde și pentru moment sunt arbitrari, dar diferiți (altfel nu vor exista funcții independente între ele) numere. Din moment ce
atunci există o corespondență
Înmulțim aceste două derivate cu a, 2b și respectiv c, apoi le compunem. Apoi partea stângă a ecuației (2.1) are forma:
Să luăm acum în calcul ecuația cuadratoare auxiliară. Rădăcinile ei sunt: În funcție de valorile discriminante, sunt posibile trei cazuri:
1) dacă în regiunea dată, atunci ecuația (2.1) aparține tipului hiperbolic;
2) dacă ecuația (2.1) este parabolică;
3) dacă ecuația (2.1) aparține tipului eliptic.
Ecuația diferențială (2.2) este numită ecuația caracteristicilor ecuației
După clarificarea tipului ecuației diferențiale, ea este redusă la forma canonică prin transformarea variabilelor independente ()
Pentru a găsi transformarea (2.3), este necesar să se formeze ecuația caracteristicilor (2.2), care poate fi reprezentată după cum urmează:
Ca urmare a rezolvării ecuațiilor (2.5), obținem integralele generale ale căror laturi stângi dau expresii (2.4), ceea ce reduce ecuația (2.3) la forma canonică.
Soluția ecuației de caracteristici (2.2) depinde de valorile discriminantului.
În legătură cu aceasta, ecuațiile de transformare (2.4) pentru fiecare dintre cele trei tipuri de ecuații sunt următoarele:
1. - tip hiperbolic. Soluția sistemului (2.5) dă două integrale reale comune:
Ecuația laturilor din stânga ale integralelor generale (2.6) cu noi variabile independente. . obținem formulele de transformare:
2. - tip parabolic. Sistemul (2.5) se reduce la ecuația :. a cărui soluție dă un adevărat integral integrat:
Formulele de transformare (2.4) în acest caz sunt redactate după cum urmează:
unde este o funcție independentă de (trebuie îndeplinită următoarea condiție :)
Notă. Alegeți sau
3. - tip eliptic. Soluția sistemului (2.5) dă două integrale comune conjugate:
Formulele de transformare pot fi obținute după cum urmează:
Efectuând trecerea la noi variabile, funcția necunoscută este considerată o funcție complexă de. . atunci
Substituind valorile derivatelor în ecuația (2.3), obținem forma canonică a ecuației luate în considerare.
Forma canonică a unei ecuații de tip hiperbolic are forma:
Forma canonică a unei ecuații de tip parabolic are forma:
- cel mai mare derivat poate fi.
Forma canonică a unei ecuații de tip eliptic are forma:
Example1. Pentru a reduce la forma canonică ecuația
Rozv'yazannya. Aici. . . ozhe, rivnyannya găshit până la tipul hiperbolic. Plierea caracteristicilor. În tsiu vipadku rivnyannya caracteristici rasppaetsya pe două zvichaynih difentsitsialnyh rivnyannya prima ordine, scho zapishutsya la difentsitsyalah:
Загальні інтеграли цих рівнянь знатьсяться безссереднім інтегруванням і мотьть бути записаі в такий спосіб:
Otzhe, forma de re-autorizare a oamenilor nemișcați, de a conduce graba la mintea canonică, să vină:
Звідки Tradus de писма рівняння до змінних. . Pentru cine este calculat :. . . . .