Acasă | Despre noi | feedback-ul
Funcția este multivaluată, care rezultă din metoda introducerii coordonatelor polare, și anume, argumentul unui număr este determinat până la un termen multiplu.
Când mutați un punct pe o curbă arbitrară continuă, argumentul numărului se schimbă în mod continuu. În acest caz, dacă curba este închisă, atunci sunt posibile două cazuri. Într-un caz, punctul după traversal revine la poziția inițială cu aceeași valoare a argumentului. Acesta este cazul pentru orice curbă care nu traversează originea. În caz contrar, argumentul este modificat la o valoare sau în funcție de direcția de traversare, și pentru o plimbare n ori la sau. Acest lucru are loc în cazul în care punctul traversează originea atunci când se deplasează.
Argumentul ca o funcție a unui punct este o funcție cu valoare unică într-o regiune care nu conține curbe care traversează punctul. Ca o astfel de regiune, se poate lua un avion cu o tăietură de-a lungul oricărei raze care iese din origine. În special, cu o tăiere de-a lungul semiaxelor negative reale este domeniul. Este posibil să alegeți o secțiune de-a lungul semiaxelor reale pozitive - domeniul. unde valoarea principală a argumentului este determinată de egalitate. Rețineți că argumentele unui număr care corespunde geometric aceluiași punct din regiuni și. pot fi diferite. De exemplu, în câmp. dar în regiune (figura 3.4).
Limitele fiecărei regiuni sunt cele două "țărmuri" ale semiaxelor corespunzătoare, eludarea limitelor din figuri este indicată de săgeți.
Exemplul 6. Investigarea posibilității de izolare a ramurilor cu o singură valoare a unei funcții ambigue.
Soluția. Funcția este una-evaluată ca inversă a unei funcții care nu este una. Ambiguitatea sa (dubla valoare) este legată de ambiguitatea argumentului funcției. Pentru fiecare valoare, obținem două valori ale argumentului: și. Deoarece și. atunci.
. Avionul complex tăiat de-a lungul liniei [0 + (posibil argument în valoare de selecție ramuri pot lua în considerare două funcții: prima are planul de domeniu cu o fantă în regiunea în care (figura 3.5), din moment ce avem inegalitate ....
Traversarea pozitivă a frontierei este indicată de săgeți. Punctele regiunii de graniță univocității deranjat, ci pentru că tăietura efectiv realizat valori pozitive (z = x, x> 0) sunt tratate de două ori pe partea de sus „coasta“ și inferior „coasta“. De exemplu, pentru z = 1, acesta este punctul de la "țărmul" superior și punctul de "țărm" inferior. Când se înregistrează până la punctele "țărmului" superior corespund valorilor pozitive (punctele și punctele negative la punctele de pe malul inferior).
Punctele de frontieră ale "băncii" superioare corespund valorilor negative ale funcției (punctul și punctele "țărmului" inferior sunt valori pozitive (punct).
Din argumentele de mai sus, formulăm următoarea afirmație.
O funcție de două valori cartografiază un plan cu o tăiere de-a lungul semiaxisului real pozitiv (regiune) la jumătatea superioară (regiunea) și jumătatea inferioară (regiunea). În regiune este posibilă identificarea unor ramuri cu o singură valoare - două funcții cu o singură valoare, dintre care unul. celălalt pe. Un cartografiu unic al întregului plan nu este posibil.
Notă. Efectuarea unei tăieri într-un avion a permis să primească funcții lipsite de ambiguitate cu care este posibil să se efectueze operații obișnuite
Dacă într-un plan un punct descrie o curbă simplă închisă, ocolind originea, atunci în plan corespunde unei curbe care face o dublă rotundă.
Punct. când traversați în jurul unei curbe închise, punctul trece de la o foaie la alta, numit punct de ramificație. De asemenea, punctul de ramificație este un punct.
În mod similar, se poate studia funcția n-foaie și inversul acesteia.
Un număr este numit limita unei funcții la un punct. dacă pentru orice număr există un număr astfel încât pentru toate numerele. satisface inegalitatea. inegalitatea
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că pentru punctele perforate # 948; - vecinătățile punctului, valorile corespunzătoare ale funcției aparțin Vecinătatea punctului.
Ne amintim că un cartier al unui punct pe un plan complex este un disc cu centru în acest moment. Deci, sau există un cerc de rază cu centrul la un punct. și cartierul perforat al unui punct sau. sau este un cerc de rază cu centrul într-un punct, cu excepția unui punct.
Dacă scriem numere în formă algebrică, atunci nu este dificil să demonstrăm următoarea afirmație.
Afirmația 1 (condiția necesară și suficientă pentru existența unei limite a funcției unei variabile complexe).
Pentru ca limita unei funcții să existe într-un anumit punct. este necesar și suficient ca în acest punct să existe limite ale două funcții ale variabilelor reale. în cazul în care; aici egalitatea
Observații: 1. Din criteriul formulat rezultă că regulile și proprietățile limitelor se regăsesc în domeniul complex ca și în domeniul real (cu excepția, bineînțeles, a proprietăților legate de semnele de inegalități).
De exemplu, (cu condiția să existe limite în partea dreaptă a ecuației).
2. Este posibil să definim noțiunea de limită a unei funcții într-un punct, fără a ține seama de întreaga vecinătate a acestui punct, ci doar un set de puncte conexe din acest cartier - trecerea la limita din set:
Aici punctele aparțin intersecției setului și a cartierului punctat al punctului. În special, acesta este cazul dacă este un set de puncte ale curbei sau este un set închis. Astfel, în Fig. 3.7, iar setul este o linie curbată. Funcția este definită pe și. cu excepția punctului. În Fig. 3.7, 6 setul este un set. funcția este definită în regiune (sau), este partea umbrită a regiunii.