Această și următoarele două secțiuni sunt dedicate luării în considerare a trei clase specifice de funcții: auto-duale, monotonice și liniare.
Definiția. Funcția g (x1, ..., xn) se spune a fi duală la f (x1, ..., xn) dacă egalitatea
De exemplu, x × y este dublă la x Ú y și invers. Aceasta rezultă din egalitățile x × y = n (n (x) Ú n (y) și x Ú y = n (n (x) x n (y)), pe care am menționat deja. Funcția x ® y este dublă funcției n (x) y, deoarece n (n (x)) n (y) = n [n (n (x) Ú n (y)] = n (x Ú n (y)) = n (x) y. Observăm că prima egalitate este satisfăcută pe baza legii 20, a doua 19 și a treia a 18 și a 19.
Definiția. Funcția f (x1, ..., xn) se spune că este auto-dublă. dacă egalitatea
Cu alte cuvinte, funcția este auto-dublă dacă coincide cu dualul său.
Să dăm câteva exemple. Este ușor de observat că funcțiile auto-duale sunt funcția identitate și negația: n [e (n (x))] = n [n (x)] = x = e (x), n [n (n (x))] = n (x). În același timp, produsul x × y este auto-dual, deoarece disjuncția duală x Ú y și x × y ¹ x Ú y. Se poate arăta că nici o funcție a două variabile, în mod esențial dependentă de fiecare argument, este auto-dublă. Ca un alt exemplu al unei funcții auto-duale, dăm funcția
Prin (2), h (x1, ..., xn) este o funcție auto-duală. Prin urmare, clasa S este închisă sub suprapunere.
Următoarea afirmație se numește o lemă pe o funcție non-duală.
Lema. Fie f (x1, ..., xn) o funcție non-auto-duală. Apoi închiderea clasei K = 1, ..., xn), n (x)> conține constantele q (x) și i (x).
Dovada. Deoarece f (x1, ..., xn) este o funcție non-auto-duală, există a1, ..., un Î B astfel încât
Setul B conține doar două elemente. Prin urmare, această inegalitate implică egalitate
Pentru comoditatea notatiei, sa presupunem ca a1, ..., ak = 0, ak + 1, ..., an = 1. Apoi ultima ecuație poate fi scrisă ca:
unde punct și virgulă separă argumentul k de la (k + 1).
Rețineți că g (x) aparține lui [K]. Avem egalități
În consecință, g (x) este una dintre constantele aparținând lui [K]. Deoarece K conține o negare, cealaltă constă de asemenea în [K].
În concluzia acestei secțiuni, considerăm un exemplu de soluție la problema auto-dualității: pentru a determina dacă funcția f (x1, x2) = x2 × (x2 ® x1) este auto-dublă? (Cu toate acestea, știm deja că f (x1, x2) este non-auto-duală, dar trebuie să dovedim acest lucru). Pentru a obține răspunsul la întrebare, compilați un tabel care specifică funcțiile f (x1, x2) și n (f (n (x1), n (x2)) (vezi tabelul 2.4)