Declarația problemei de a verifica semnificația diferențelor.
Ipoteza omogenității probelor
Să se formeze două probe pentru a studia o variabilă C:
- volumul primei probe;
- volumul celui de-al doilea eșantion.
Primirea acestor eșantioane poate să difere în funcție de momentul înregistrării, de locul de colectare a informațiilor, de tipul obiectelor etc.
Se pune întrebarea: diferă în mod semnificativ sau nesemnificativ aceste eșantioane? Cu alte cuvinte, aceste probe au fost extrase din aceeași populație generală sau ar trebui atribuite unor populații generale diferite?
Vom realiza această formulare descriptivă a problemei într-un limbaj matematic și vom reduce problema testării unei ipoteze statistice.
Să prezentăm ipoteza nulă. Faptul este că populațiile generale din care sunt extrase datele eșantionului sunt aceleași, adică au aceleași funcții de distribuție:
sub o ipoteză alternativă
Ipoteza propusă înseamnă absența diferențelor statistice și se numește ipoteza de omogenitate a eșantioanelor. Astfel, apare următoarea problemă matematică: este necesar, la un anumit nivel de semnificație, să se testeze ipoteza de omogenitate cu privire la absența diferențelor statistice între două eșantioane.
Diversele criterii pentru presupunerea omogenității corespund criteriilor lor de verificare, care se numesc criterii de omogenitate.
Criteriul de omogenitate a studentului Fisher-Student
Acest criteriu comun constă în aplicarea consecventă a criteriilor clasice Fisher și Student la aceste eșantioane.
Condiții pentru aplicabilitatea acestui criteriu:
· Datele esantionale sunt independente;
· Populațiile generale corespunzătoare au o distribuție normală.
Deoarece legea normală de distribuție are doi parametri și. atunci pentru coincidența funcțiilor de distribuție u este suficient să se verifice egalitățile corespunzătoare acelorași parametri. Trebuie să testați mai întâi ipoteza egalității variantelor generale.
La un anumit nivel de semnificație pentru probele date (conform ipotezelor de mai sus), se verifică ipoteza privind egalitatea varianțelor generale:
Ca statistici ale criteriului de testare, o variabilă aleatorie
caracterizând raportul dintre dispersia mai mare "corectată" și cea mai mică. Se stabilește că această variabilă aleatoare F, cu condiția ca ipoteza să fie valabilă, să aibă o distribuție Fisher cu grade de libertate. Iată dimensiunea eșantionului prin care se calculează o variație mare "corectată" și a este dimensiunea eșantionului cu o variație mai mică "corectată".
Pe baza acestor eșantioane, se calculează valoarea observată a statisticilor Fisher.
Prin Fischer cuantile tabel de distribuție (tabl.P7) [7] pentru nivelul de semnificație (jumătate set) și numărul determinat de grade de libertate, și definește punctul critic al statistic Fisher, în conformitate cu ecuația
unde (ordinea cuantificărilor).
Criteriul Fisher (regula de activare) pentru testarea ipotezei de omogenitate este după cum urmează:
1. Dacă. atunci ipoteza este păstrată (variantele generale coincid practic).
2. Dacă același lucru. atunci ipoteza este puternic respinsă (probele diferă semnificativ una de alta).
Se aplică după criteriul Fisher numai dacă se păstrează ipoteza egalității variantelor generale prin criteriul Fisher.
Condiții pentru aplicabilitatea testului elevului:
· Populațiile generale au o distribuție normală;
· Variațiile generale independente sunt egale.
Rețineți că ultima cerință va fi satisfăcută în mod automat atunci când criteriile sunt aplicate în mod consecvent.
La un anumit nivel de semnificație pentru datele eșantionului, se verifică ipoteza privind egalitatea așteptărilor matematice generale:
Ca statistici ale criteriului de testare, o variabilă aleatorie
Se stabilește că, sub condiția validității ipotezei prezentate, această variabilă aleatoare are distribuția t a Studentului cu grade de libertate.
Pe baza datelor de eșantion, se calculează valoarea observată a statisticilor Studentului.
Prin cuantile tabel de distribuție Student (tabl.P6) [8] pentru un nivel de semnificație dată, iar numărul constatat de grade de libertate defini un punct critic t-statistici în conformitate cu ecuația
unde (ordinea cuantificărilor).
Regula de rezolvare pentru testarea unei ipoteze este după cum urmează:
1 Dacă. atunci ipoteza este păstrată (așteptările matematice generale coincid practic).
2 Dacă același lucru. atunci ipoteza este respinsă (probele diferă semnificativ una de cealaltă).
Notă: Când se aplică criteriul combinat Fisher-Student, normalizarea distribuției este o cerință obligatorie. În această ipoteză de uniformitate (absența diferențe statistice semnificative între probele) este acceptată numai în cazul în care ambele ipoteze scanate cu excepția respectiv criteriul Fisher () și t-test (). În cazul în care cel puțin una dintre aceste ipoteze parțiale este respinsă, putem afirma cu certitudine că există diferențe statistice semnificative între probele de date.
Criteriul de omogenitate Wilcoxon
Acest criteriu se recomandă a fi aplicat în acele cazuri în care distribuția populației generale este diferită de cea normală sau această distribuție este de fapt necunoscută.
Condiții pentru aplicabilitatea testului Wilcoxon:
· Variabila studiată este o variabilă aleatorie continuă;
· Datele esantionale sunt independente;
La un anumit nivel de semnificație, se testează ipoteza de omogenitate (nu există diferențe statistice semnificative între probele date):
Am pre-aranjat elementele celor două eșantioane sub forma unei serii variate combinate (în ordinea descrescătoare a valorilor observate). Fiecărui element al rândului combinat i se va atribui un rând de ordine în ordine. Dacă mai multe elemente ale seriei combinate coincid în magnitudine, se aplică așa-numita metodă de rang mediu. și anume, fiecăruia dintre elementele unui grup omogen le atribuim un rang egal cu media aritmetică a numerelor lor ordonale.
Fie suma rangurilor elementelor primului eșantion și suma rândurilor elementelor celui de-al doilea eșantion.
în același timp, raportul de referință
Ca o statistică a ipotezei de omogenitate a lui Wilcoxon, o variabilă aleatoare
Se stabilește că, dacă ipoteza este validă, această variabilă aleatoare Z are distribuția normală standard (0; 1).
Din datele probelor, se calculează valoarea observată a statisticilor Wilcoxon.
Ca cuantile Tabelul distribuției normale standard de (0, 1) (tabl.P1) [9] pentru un anumit nivel de semnificație definesc o critică statistica punct Z conform ecuației:
unde (ordinea cuantificărilor).
Regula de rezolvare (criteriu) pentru testarea ipotezei de omogenitate este următoarea:
1. Dacă. atunci ipoteza este păstrată (probele sunt practic omogene).
2. Dacă același lucru. atunci ipoteza este puternic respinsă (probele diferă semnificativ una de alta).
Un exemplu. Două eșantioane independente sunt date
La nivel de semnificație este necesar să se testeze ipotezele de omogenitate a acestor eșantioane cu ajutorul:
1) criteriul omogenității studentului Fisher;
2) testul Wilcoxon.
Începem rezolvarea problemei prin aplicarea criteriului combinat Fisher-Student cu presupunerea tacită a normalității distribuției.
1. În primul rând, folosind testul Fisher, permiteți-ne să testați ipoteza egalității variantelor generale pentru.
În prealabil pentru aceste probe, vom găsi mediile eșantionului și variantele corectate:
Apoi, calculați valoarea observată a statisticilor lui Fisher:
și să găsească numărul de grade de libertate:
Din tabelul quantile Fisher, definim punctul critic al statisticilor lui Fisher:
Rețineți că ordinul este quantile.
Comparând și. aflăm asta. și conform regulii de rezolvare a criteriului Fisher, concluzionăm că se păstrează ipoteza egalității variantelor generale.
Acum, cu ajutorul testului Student, verificăm ipoteza privind egalitatea așteptărilor matematice generale la.
Pentru a face acest lucru, calculați valoarea observată a statisticilor Student:
și găsiți numărul de grade de libertate.
Din tabelul elevilor elevului elevului, definim punctul critic al statisticilor studenților:
Deci, cum. apoi, conform regulii de rezolvare a criteriului Studentului, concluzionăm că se păstrează ipoteza egalității așteptărilor matematice.
Astfel, conform criteriului Fisher-Student combinat, datele eșantionului sunt practic omogene, adică diferă statistic în mod nesemnificativ.
2. Acum ne îndreptăm atenția asupra aplicării criteriului de omogenitate Wilcoxon.
Mai întâi, aranjați elementele celor două eșantioane sub forma unei serii de variații combinate și le atribuiți numere de serie (rang condiționat strict). Astfel, elementele celui de-al doilea eșantion pentru distinctivitatea selecției lor marchează o linie de sus:
Calculați apoi valoarea observată a statisticilor Wilcoxon:
Conform tabelului cuantic al distribuției normale standard (0; 1) pentru un anumit nivel de semnificație, definim punctul critic al statisticilor Z:
Deci, cum. apoi, în conformitate cu un test Wilcoxon regula de rezoluție putem concluziona că ipoteza de uniformitate este încă prezentă, indicând că nu există o diferență semnificativă statistic între aceste două probe.