I. Coordonatele centrului de greutate.
Lasă sistemul de puncte materiale pe planul Oxy
Produsele xi mi și yi mi se numesc momentele statice ale masei mi în raport cu axele Oy și Ox.
Denumim xc și yc coordonatele centrului de greutate al sistemului dat. Apoi coordonatele centrului de greutate al sistemului de material descris sunt definite prin formulele:
Aceste formule sunt folosite pentru a găsi centrele de greutate ale diferitelor figuri și corpuri.
1. Centrul de greutate al unei figuri plate.
Fie ca această cifră delimitată de liniile y = f1 (x), y = f2 (x), x = a, x = b, este o bucată de material plat. Densitatea de suprafață, adică masa unei suprafețe unitare, va fi considerată constantă și egală cu # 100; pentru toate părțile din figură.
Împărțim această cifră cu linii drepte x = a, x = x1. x = xn = b la benzi de lățime # 68; x1, # 68; x2. # 68; xn. Greutatea fiecărei benzi va fi egală cu produsul zonei sale prin densitate # 100;. Dacă fiecare bandă este înlocuită cu un dreptunghi (fig.1) cu o bază # 68; xi și înălțimea f2 ( # 120; ) -f1 ( # 120; ), unde # 120; , atunci masa benzii va fi aproximativ egală cu
Aproximativ centrul de greutate al acestei benzi va fi în centrul dreptunghiului corespunzător:
Acum, înlocuind fiecare punct fâșie de material, masa, care este egală cu masa benzii respective și este concentrată în centrul de greutate al benzii, găsim o valoare aproximativă a centrului de greutate al întregii figură:
Trecând la limită pentru, obținem coordonatele exacte ale centrului de greutate al figurii date:
Aceste formule sunt valabile pentru orice formă omogenă (adică având o densitate constantă la toate punctele). După cum puteți vedea, coordonatele centrului de greutate nu depind de densitate # 100; cifrele (în procesul de calculare # 100; redus).
2. Coordonatele centrului de greutate al unei figuri plane
În capitolul precedent a fost indicat faptul că coordonatele centrului de greutate al sistemului de puncte de material P1. P2. Pn cu masele m1. m2. mn sunt definite prin formule
În limita când sumele integrale din numărătorul și numitorul fracției trec în integralele duble astfel obținute formulele exacte pentru calcularea coordonatelor centrului de greutate a unei figuri plane:
Aceste formule derivate pentru o figură plană cu densitatea de suprafață 1 rămân valabile pentru o cifră cu orice altă densitate constantă în toate punctele # 103; .
Dacă densitatea de suprafață este variabilă:
atunci formulele corespunzătoare vor avea forma
se numesc momente statice ale unei figura plane D in raport cu axele Oy si Ox.
Integralul exprimă masa cifrei în cauză.
3. Teoriile lui Gulden.
Suprafața obținută prin rotirea curbei plate arc în jurul unei axe situată în planul curbei și nu intersectându-l, egală cu lungimea arcului curbei, înmulțită cu lungimea arcului de cerc descris de centrul de greutate.
corp deplasare obținută prin rotirea unui plan figura în jurul axei sale nu se intersectează, și situată în planul figurii este produsul forma patrata pe circumferința descrisă centrul de greutate al figurii.
II.
1) Stare: găsiți coordonatele centrului de greutate al semicercului X 2 + Y 2 = a 2. Situat deasupra axei Ox.
Soluție: Definiți abscisa centrului de greutate:
Să găsim acum ordinul centrului de greutate:
2) Stare: Determinați coordonatele centrului de greutate al segmentului parabolei y 2 = axa, linia de tăiere, x = a (Figura 2)
Soluție: În acest caz, prin urmare
(deoarece segmentul este simetric în raport cu axa Ox)
3) Stare: Determinați coordonatele centrului de greutate al unui sfert din elipse (Figura 3)
presupunând că densitatea de suprafață în toate punctele este egală cu 1.
Soluție: Prin formulele (*) obținem:
Identificați coordonatele centrului de greutate al arcului liniei de lanț.
Deoarece curba este simetrică față de axa Oy, centrul său de greutate se află pe axa Oy, adică Xc = 0. Rămâne de găsit. Atunci avem
Folosind teorema lui Gulden pentru a găsi coordonatele centrului de greutate al unui sfert de cerc
Când un sfert din cerc se rotește în jurul axei Ox, obținem o emisferă a cărei volum este egal cu
Conform celei de-a doua teoreme a lui Gulden,
Centrul de greutate al unui sfert din cerc se află pe axa simetriei; pe bisectorul unghiului 1-coordonate, și prin urmare