§ 7.10. Stabilitate absolută
Să considerăm mișcarea liberă într-un sistem care constă dintr-o parte liniară cu o funcție de transfer și un feedback negativ neliniar cu o caracteristică (figura 7.39). Ecuațiile pentru această schemă pot fi scrise în formular
Ecuațiile pentru partea liniară sunt scrise pentru transformările Laplace ale variabilelor. Condiția impusă funcției înseamnă că sistemul are o stare de echilibru în punctul: perechea este o soluție trivială a ecuațiilor diferențiale (7.52). Vom analiza condițiile de stabilitate ale acestei stări de echilibru, adică stabilitatea soluției triviale.
Ecuațiile (7.52) pot fi, de asemenea, scrise în variabilele de stare:
unde x este vectorul de stare n-dimensional; - matrice constantă; c - vector constant; b - vector constant. Între funcția de transfer și coeficienții ecuațiilor (7.53) există o dependență
unde E este matricea identității. Funcția de transfer pentru ecuația (7.53) în cazul general este egală cu raportul polinomilor:
în cazul în care gradul polinomului este egal cu numărul de variabile ale gradului polinomului de egalitate între variabilele de stare semnificativ - aceasta înseamnă că funcția de transfer este nedegenerata, adică nu au factori de formă identică în aceste condiții, sistemul (7.53) este complet controlabile și este echivalent cu sistemul (7.52) ... gradul polinomului în general egale, dar pentru anumite valori ale coeficienților matricei A poate fi mai mică, până la zero. În cazul în care ecuațiile de stat au forma
unde este un număr constant nonzero, atunci gradul este egal cu gradul
O caracteristică importantă a teoriei globale de stabilitate a sistemelor neliniare de tipul menționat este faptul că nu a considerat anumite tipuri de caracteristici (de ex. E. Nu este o parabolă, iar exponentul m. P.), precum și clasele de funcții care satisfac una sau alte restricții. Dacă poziția de echilibru a sistemului (7.53) sau (7.55) este asimptotic stabil, în general, pentru orice funcție neliniară a clasei dat, atunci se spune că este absolut stabil în această clasă. Vom lua în considerare clasa de funcții care îndeplinesc restricțiile sectoriale. Caracteristicile lor sunt construite în
Planurile se potrivesc în sectorul unghiular format din două linii drepte:
Despre astfel de neliniarități spun că aparțin clasei sau că fac parte din sectorul neliniarității clasei sunt definite de următoarea condiție:
Această condiție este echivalentă cu inegalitatea
Partea din stânga este o formă patratică a variabilelor reale și a. Evident, condiția (7.56) este un caz particular al unei condiții mai generale
în cazul în care - forma pătratică arbitrară a variabilelor reale. Dacă satisface caracteristice inegalitatea sau cuplu (7,57), spunem că satisface conexiunea locală cu forma Împreună cu clasa de non-linearitate determinată de comunicarea locală, ia în considerare clasa de caracteristici neliniare, care este definit printr-o legătură integrală.
Vom spune că caracteristica satisface legătura integrală cu forma dacă există o secvență și un număr astfel încât inegalitatea
t. e. cerem ca integritatea să nu tindă spre infinit negativ ca creșterea [11].
Atunci când efectuați o conexiune locală, este de asemenea îndeplinită o legătură integrală cu același formular. Conversia nu este validă. Există funcții care satisfac o conexiune integrată, dar nu satisfac conexiunea locală cu același formular.
În cele din urmă, observăm că pentru a determina clasele de neliniarități, restricțiile pot fi impuse nu numai,
dar și asupra derivatului, prin urmare, atunci când se impun astfel de constrângeri, vor fi luate în considerare legăturile cu forma patrată.
Mentionam cateva subclase.
O subclasă satisface condițiile
Subclasa - oricare, situată numai în primul și al treilea cadran al avionului
Pentru scopuri practice, forma cea mai convenabilă pentru determinarea stabilității sistemelor neliniare sunt criterii de frecvență, care este folosit sub forma de ecuațiile (7.52) și frecvența de răspuns a părții liniare a criteriilor de frecvență pentru formulări necesită conversia prealabilă a formelor pătratice în conexiune locală și integrală. Acesta utilizează conceptele de forme Hermitian și expansiune Hermitian.
Ne amintim că o formă hermitiană de variabile reale sau complexe este un polinom
.. În cazul în care A - Hermitian matrice, adică matricea în care elementele sunt dispuse simetric în raport cu diagonala principală sunt numere conjugate complexe în care asterisc denotă conjugatul complex, T - formă Hermitian transpunere ia numai valori reale: variabile complexe formă Hermitian numit expansiune Hermitian forma pătratică în variabilele reale în cazul în care aceste forme sunt egale.
În cazul particular în care forma patratică este reprezentată ca produs al a două forme lineare, așa cum este ușor de verificat, extensia hermitiană este forma
Se va lua în considerare legătura locală sau integrală cu formularul. Atunci când se formulează un criteriu de frecvență, se utilizează următoarea transformare. Există o extensie hermitiană a formularului. Un semn deasupra unei variabile înseamnă că este nevoie de valori complexe.
Variabilele pot fi considerate ca imagini Laplace pentru variabile, a. Când se utilizează ecuația (a se vedea (7.52)), variabilele c și a sunt excluse, iar apoi se efectuează o substituire în funcția de transfer. Rezultatul este o funcție de frecvență
În cazul particular, atunci când este reprezentat ca produs al a două forme lineare, o), prin (7.61) avem
Să găsim funcțiile de frecvență pentru nelinearitățile subclaselor. Pentru o subclasă de (7.56) și (7.62), obținem sau, din moment ce
Pentru o subclasă, punerea
Pentru o subclasă de (7.60) obținem
Introducem noțiunea de stabilitate minimă.
Dacă echilibrul sistemului (7.53) este stabil cel puțin pentru unele caracteristici ale unei clase date, atunci echilibrul se spune că este stabil în mod minim în
clasă. Atunci când se utilizează criterii de frecvență, acestea încep de obicei cu un control minim de stabilitate. Acest lucru se realizează cel mai ușor pentru sistemele liniare obținute din sistem (7.52) prin înlocuirea caracteristicilor neliniare printr-o caracteristică liniară aparținând aceleiași clase. Pentru neliniaritățile din clasă se alege din condiție Sistemul (7.53) este minim stabil dacă polinomul caracteristic al unui sistem liniar închis
satisface condiția Hurwitz sau dacă matricea are toate valorile proprii situate în partea stângă a axei imaginare.