Orice ecuație de gradul I față de coordonatele x, y, z
Axă + După + Cz + D = 0 (3.1)
stabilește planul și invers: fiecare plan poate fi reprezentat de ecuația (3.1), care se numește ecuația planului.
Vectorul n (A, B, C) ortogonal față de plan este numit vectorul normal al planului. În ecuația (3.1), coeficienții A, B, C nu sunt simultan egali cu 0.
Cazuri speciale ale ecuației (3.1):
1. D = 0, Ax + Prin + Cz = 0 - planul trece prin origine.
2. C = 0, Ax + Prin + D = 0 - planul este paralel cu axa Oz.
3. C = D = 0, Ax + Prin = 0 - planul trece prin axa Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - planul este paralel cu planul Oyz.
Ecuațiile planurilor de coordonate: x = 0, y = 0, z = 0.
O linie în spațiu poate fi dată:
1) ca linia de intersecție a două planuri, sistem de ecuații:
2) prin două puncte M1 (x1, y1, z1) și M2 (x2, y2, z2), atunci linia care trece prin ele este dată de ecuațiile:
3) prin punctul M1 (x1, y1, z1) care îi aparține și prin vectorul a (m, n, p), care este colinal cu el. Apoi linia este definită prin ecuațiile:
Ecuațiile (3.4) sunt numite ecuațiile canonice ale unei linii drepte.
Vectorul a este numit vectorul de direcționare al liniei.
Obținem ecuațiile parametrice ale liniei drepte prin egalizarea fiecăreia dintre relațiile (3.4) cu parametrul t:
Rezolvarea sistemului (3.2) ca sistem de ecuații liniare în raport cu necunoscutele x și y. ajungem la ecuațiile liniei în proiecții sau în ecuațiile reduse ale liniei drepte.
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Din ecuațiile (3.6) putem trece la ecuațiile canonice, găsind z din fiecare ecuație și echivalând valorile obținute:
Din ecuațiile generale (3.2) se poate trece la metode canonice și alte metode dacă se găsește un punct al acestei linii și vectorul de direcționare n = [n1. n2], unde n1 (A1, B1, C1) și n2 (A2, B2, C2) sunt vectorii normali ai planurilor date. Dacă unul dintre numitorii m, n sau p din ecuațiile (3.4) se dovedește a fi zero, atunci numerotatorul fracțiunii corespunzătoare trebuie să fie egal cu zero, adică sistemul
este echivalentă cu sistemul; o astfel de linie este perpendiculară pe axa Ox.
Sistemul este echivalent cu sistemul x = x1, y = y1; linia dreaptă este paralelă cu axa Oz.
Exemplul 1.15. Scrieți ecuația planului, știind că punctul A (1, -1,3) servește ca bază a perpendicularului tras de la origine în acest plan.
Soluția. Prin condiția problemei, vectorul OA (1, -1,3) este un vector normal al planului, apoi ecuația lui poate fi scrisă sub forma
x-y + 3z + D = 0. Înlocuind coordonatele punctului A (1, -1,3) aparținând planului, găsim D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Deci, x-y + 3z-11 = 0.
Exemplul 1.16. Scrieți ecuația planului care trece prin axa Oz și formează un unghi de 60 ° cu planul 2x + y -z-7 = 0.
Soluția. Planul care trece prin axa Oz este dat de ecuația Ax + By = 0, unde A și B simultan nu dispar. Să nu fie
este egal cu 0, A / Bx + y = 0. Prin formula cosinusului unghiului dintre două planuri
Rezolvând ecuația patratică 3m 2 + 8m - 3 = 0, găsim rădăcinile ei
m1 = 1/3, m2 = -3, de unde obținem două planuri 1 / 3x + y = 0 și -3x + y = 0.
Exemplul 1.17. Se compun ecuațiile canonice ale unei linii drepte:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Soluția. Ecuațiile canonice ale unei linii drepte sunt:
unde m, n, p sunt coordonatele vectorului de direcționare al liniei, x1. y1. z1 - coordonatele unui punct ce aparține unei linii drepte. O linie dreaptă este definită ca linia de intersecție a două planuri. Pentru a găsi un punct aparținând unei linii drepte, remediați una dintre coordonatele (cel mai simplu mod de a pune, de exemplu, x = 0), iar sistemul să decidă modul în care sistemul de ecuații liniare cu două necunoscute. Deci, lasă x = 0, atunci y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, unde y = -1, z = 1. Coordonatele punctului M (x1, y1, z1) aparținând liniei date, am găsit: M (0, -1,1). Vectorul de direcționare al liniei drepte este ușor de găsit, cunoscând vectorii normali ai planelor originale n1 (5,1,1) și n2 (2,3, -2). atunci
Ecuațiile canonice ale unei linii drepte sunt: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (z-1) / 13.
Exemplul 1.18. Într-un fascicul definit de planurile 2x-y + 5z-3 = 0 și x + y + 2z + 1 = 0 găsiți două planuri perpendiculare, dintre care una trece prin punctul M (1,0,1).
Soluția. Ecuația căruciorului definit de aceste planuri are forma u (2x-y + 5z-3) + v (x + y + 2z + 1) = 0, unde u și v nu dispar simultan. Rescriem ecuația fasciculului după cum urmează:
(2u + v) x + (-u + v) y + (5u + 2v) z-3u + v = 0.
Pentru a extrage un plan care trece prin punctul M din fascicul, înlocuim coordonatele punctului M în ecuația fasciculului. Avem:
(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v = 0 sau v = - u.
Apoi, ecuația planului care conține M este găsită prin înlocuirea v = -u în ecuația fasciculului:
u (2x-y + 5z-3) - u (x + y + 2z + 1) = 0.
pentru că u 0 0 (altfel v = 0, iar acest lucru contrazice definiția creionului), atunci avem ecuația planului x-2y + 3z-4 = 0. Cel de-al doilea plan care aparține fasciculului trebuie să fie perpendicular pe acesta. Să notăm condiția ortogonalității pentru avioane:
(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0 sau v = - 19 / 5u.
Prin urmare, ecuația celui de-al doilea plan are forma:
u (2x-y + 5z-3) - 19/5 u (x + y + 2z + 1) = 0 sau 9x + 24y + 13z + 34 = 0.