Exemplul 1. Se calculează pentru atomul de hidrogen raza primei orbite Bohr și viteza electronului pe ea.
Soluția. Raza orbitei nr Bohr și viteza unuia dintre electronii de pe el sunt legate între ele prin ecuația primului postulat al lui Bohr:
Pentru a avea încă o ecuație care să conecteze cantitățile un și rn. scriem noua lege a lui Newton pentru un electron care se mișcă sub acțiunea forței Coulomb de atracție a nucleului de-a lungul unei orbite circulare. Considerând că nucleul atomului de hidrogen este un proton a cărui încărcare este egală cu sarcina electronului din modul, scriem:
unde m este masa de electroni, este accelerația normală. Rezolvând împreună (3.1) și (3.2) obținem:
Punând n = 1 aici, efectuăm calculele:
Exemplul 2. Un electron dintr-un atom de hidrogen trecea de la nivelul de energie al patrulea la cel de-al doilea. Determinați energia fotonului emis în același timp și lungimea de undă a acestuia.
Soluția. Pentru a determina energia fotonică, folosim formula de serie pentru ioni asemănători hidrogenului:
unde # 955; Este lungimea de undă a fotonului; R este constanta lui Rydberg; Z - încărcarea nucleului în unități relative (pentru Z = 1 formula se duce la formula de serie pentru hidrogen); n1 - numărul orbitei la care a trecut electronul; n2 este numărul de orbită cu care trece electronul (n1 și n2 sunt numerele cuantice principale).
Energia fotonică E este exprimată prin formula
Prin urmare, multiplicarea ambelor laturi ale (13.3) cu hc. obținem o expresie pentru energia fotonică:
pentru că Rhc este energia de ionizare Ei a atomului de hidrogen, atunci
Din (3.4) exprimăm lungimea de undă a fotonului
Calculele pot fi efectuate în unități off-sistem: Ei = 13,6 eV; Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:
Exemplul 3. O viteză inițială de electroni, care poate fi ignorat a trecut diferența de potențial accelerare U. Găsiți lungimea de undă de Broglie a unui electron în două cazuri: 1) U1 = 51 V; 2) U2 = 510 kV.
Soluția. Lungimea de undă de Broglie pentru o particulă depinde de impulsul său p și este dat de
unde h este constanta lui Planck.
Impulsul unei particule poate fi determinată dacă știm cinetică T. energia pulsul de contact cu energia cinetică este diferită pentru cazul non-relativistă (când energia cinetică a particulei este mult mai mică decât energia de repaus) și pentru cazul relativist (când energia cinetică este comparabilă cu energia de repaus a particulei).
În cazul nerelativist
unde m0 este masa de odihnă a particulei.
În cazul relativist
Formula (3.5), luând în considerare relațiile (3.6) și (3.7), este scrisă:
- în cazul nerelativist
- în cazul relativist
Comparați energia electronilor cinetică, care a trecut de-al doilea set, în starea potențială problemă diferența U1 = 51 V și U2 = 510 kV, energia de repaus de electroni și în funcție de care decide care dintre formulele (3.8) sau (3.9) trebuie aplicată pentru a calcula lungimea valuri de Broglie.
După cum se știe, energia cinetică a unui electron care a trecut diferența de potențial de accelerare U,
In primul caz, T1 = UE1 = 51 eV = 10 -4 0,51 MeV, care este mult mai mică decât electroni de energie de repaus E0 = M0 = 0,51 până la 2 MeV. În consecință, în acest caz putem aplica formula (3.8). Pentru a simplifica calculele, rețineți că T1 = 10 -4 m0 c 2. Înlocuind această expresie în formula (3.8), o rescriim în forma
Considerând că există o lungime de undă Compton # 955; avem
pentru că # 955; = 2,43 ppm, atunci
În cel de-al doilea caz, energia cinetică T2 = eU2 = 510 keV = 0,51 MeV, adică este egal cu energia de odihnă a electronului. În acest caz, este necesar să se aplice formula relativistă (3.9). Având în vedere că T2 = 0.51 MeV = m0 cu 2. Folosind formula (3.9), găsim
Noi substituim valoarea # 955 și efectuați calculele:
Exemplul 4. Energia cinetică a unui electron într-un atom de hidrogen este de ordinul lui T = 10 eV. Folosind relația de incertitudine, estimați dimensiunile minime liniare ale atomului.
Soluția. Relația de incertitudine pentru coordonate și impuls are forma
unde Dx este incertitudinea coordonatei particulei (în acest caz, electronul); Dpx este incertitudinea impulsului particulelor (electron); Este constantă Planck.
Din relația de incertitudine rezultă că, cu cât este mai precis poziția unei particule în spațiu, cu atât este mai incertă impulsul și, în consecință, energia particulei. Fie atomul dimensiuni liniare l. atunci electronul atomului va fi undeva în regiune cu incertitudine
Relația de incertitudine (3.10) poate fi scrisă în acest caz în formă
Din punct de vedere fizic, incertitudinea rezonabilă a momentului Dpx nu ar trebui să depășească în niciun caz valoarea momentului px propriu-zis. și anume Dpx e px. Momentul px este legat de energia cinetică T prin relația
. Înlocuim Dpx cu o valoare (un astfel de înlocuitor nu va crește l). Trecând de la inegalitate la egalitate, obținem
Să verificăm dacă formula rezultată dă o unitate de lungime. În acest scop, înlocuim notația unităților lor în partea dreaptă a formulei (3.12)
Unitatea este unitatea de lungime.
= 1,24 10 -10 m = 124 nm.
Exemplul 5. Funcția de undă descrie starea de bază a unei particule într-o cutie dreptunghiulară infinit de adâncă de lățime l, figura 3.1. Calculați probabilitatea de a găsi o particulă într-un interval mic Dl = 0,01l în două cazuri:
1) (lângă perete) (0 £ x £ Dl);
2) în partea de mijloc a casetei ().