Dacă, în prezența schemei Bernoulli, numărul de încercări n este mare și probabilitatea apariției evenimentului p este mică, atunci în loc de formula Bernoulli se folosește formula Poisson:
Aici puteți găsi tabelul de distribuție Poisson. În Excel, valorile pot fi calculate folosind formula = POASSON (k; # 955 ;; 0)
Probabilitatea producerii unui burghiu defect (fragilitate sporită) este de 0,02. Exercițiile sunt ambalate în cutii de 100 de bucăți. Determinați probabilitatea ca numărul de burghiuri defecte la cutie să nu depășească trei.
15 Variabile aleatoare discrete.
O variabilă aleatoare este o cantitate care, ca rezultat al unui experiment cu un rezultat aleator, presupune o valoare particulară. Valorile posibile ale unei variabile aleatorii formează un set # 926; care se numește setul de valori posibile ale unei variabile aleatorii. Desemnarea unei variabile aleatoare: X, Y, Z; posibilele valori ale unei variabile aleatoare: x, y, z.
În funcție de tipul setului # 926; variabilele aleatoare pot fi discrete și nediscrete. CB X este numit discret în cazul setului de valori posibile # 926; - numărare sau finită. Dacă setul de valori posibile ale CB este necunoscut, atunci CB este nediscret.
În interpretarea set-teoretică a conceptelor de bază ale teoriei probabilității, variabila aleatoare X este o funcție a unui eveniment elementar: X = # 966; (# 969;), unde # 969; - un eveniment elementar care aparține spațiului # 937; Mai mult, setul # 926; valorile posibile ale CB X constau din toate valorile pe care le are funcția # 966; (# 969;).
Distribuția unei variabile aleatorii discrete.
Cea mai simplă formă poate fi dată legii distribuției unei variabile aleatorii discrete. Lângă distribuția unei variabile aleatorii discrete este un tabel în care toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare X sunt listate în ordine ascendentă: x1. x2. ..., xn. ... și probabilitățile acestor valori ale lui p1. p2. ..., pn. ..., unde pi = Pi> este probabilitatea ca, ca rezultat al experimentului, CB X să-și asume valoarea xi (i = 1,2, ..., n, ...).
Seria de distribuție este scrisă sub forma unui tabel:
Deoarece evenimentele "... sunt inconsistente și formează un grup complet, suma tuturor probabilităților din linia de jos este una:
Funcția de distribuție și proprietățile acesteia.
Forma cea mai generală a legii distribuției, potrivită pentru toate variabilele aleatoare (atât discrete, cât și nediscrete) este funcția de distribuție.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este probabilitatea că va lua o valoare mai mică decât argumentul funcției x:
Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție este interpretată ca probabilitatea ca un punct aleatoriu X să cadă la stânga unui anumit punct X (Figura 5.1). Din interpretarea geometrică se poate deduce în mod clar proprietățile de bază ale funcției de distribuție.
2. F (+) = 1 (5.3)
- F (x) este o funcție nondecreasing a argumentului său; la x1
Dovada acestei proprietăți este ilustrată în Fig. 5.2.
Reprezentăm evenimentul C = 2> ca suma a două evenimente incompatibile C = A + B, unde A = 1> și B = 1 X X
Prin regula de adăugare a probabilităților
4. P (# 945; £ X <β) = F(β) - F(α), для "[α,β[ÎR. (5.4)
Dovada acestei proprietăți rezultă din dovada anterioară.
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X ca rezultat al unui experiment să cadă pe un grafic din # 945; până la # 946; (inclusiv # 945;) este egal cu creșterea funcției de distribuție din această secțiune.
Astfel, funcția de distribuție F (x) a oricărei variabile aleatoare este o funcție nondecreasing a argumentului ei, ale cărui valori sunt între 0 și 1: 0≤F (x) ≤1, unde F (-∞) = 0, F (+ ∞) 1.
16. Variația sumei a două variabile aleatorii este egală cu suma variațiilor lor plus momentul dublării lor de corelare.
17. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatorii discrete
Numerele care descriu o valoare aleatorie în rezumat se numesc caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare.
Previziunea matematică a unei variabile aleatorii discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile prin probabilitățile lor:
,
unde sunt valorile posibile ale variabilei aleatoare. a sunt probabilitățile corespunzătoare.
Notă. Formula de mai sus este valabilă pentru o variabilă aleatoare discretă, numărul de valori posibile ale cărora este finit. Dacă variabila aleatoare are un număr de valori posibile, apoi pentru a găsi așteptarea matematică, utilizați formula:
,
și această așteptare matematică există atunci când se află condiția corespunzătoare pentru convergența seriei numerice din partea dreaptă a egalității.
Înțelesul probabilist al așteptărilor matematice: așteptările matematice sunt aproximativ egale (cu cât mai exact, cu atât mai mare este numărul de teste) media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
18. Variabila aleatorie continuă. Densitatea distribuției unei variabile aleatorii și a proprietăților acesteia.
O variabilă aleatoare X este considerată a fi continuă dacă funcția de distribuție F (x) este o funcție continuă, diferențiată pe o piesă cu derivat continuu.
Deoarece pentru astfel de variabile aleatoare funcția F (x) nicăieri nu are salturi, probabilitatea unei valori individuale a unei variabile aleatorii continue este zero
P = 0 pentru orice # 945;.
Ca o lege de distribuție care este semnificativă doar pentru variabilele aleatorii continue, există noțiunea de densitate de probabilitate sau densitate de probabilitate.
Probabilitatea unei variabile aleatorii continue X care intră într-o secțiune de la x la x + Dx este egală cu creșterea funcției de distribuție din această secțiune:
Densitatea de probabilitate din această secțiune este determinată de raportul
Densitatea distribuției (sau densitatea de probabilitate) a unei variabile aleatorii continue X la un punct x este derivatul funcției de distribuție în acest punct și este notat cu f (x). Diagrama densității distribuției se numește curba de distribuție.
Să presupunem că există un punct x și un segment adiacent dx. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să atingă acest interval este f (x) dx. Această cantitate se numește elementul de probabilitate.
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să atingă un segment arbitrar [a, b] este egală cu suma probabilităților elementare din această secțiune:
Într-o interpretare geometrică, P este egală cu aria delimitată mai sus de curba de distribuție a densității f (x) și susținută de secțiunea (# 945 ;, # 946;) (Figura 5.4).
Această relație ne permite să exprimăm funcția de distribuție F (x) a unei variabile aleatoare X în termeni de densitate:
În interpretarea geometrică, F (x) este egală cu aria delimitată mai sus de curba de distribuție f (x) și situată în partea stângă a punctului x (Figura 5.5).
Principalele proprietăți ale densității de distribuție:
- Densitatea distribuției este non-negativă: f (x) ≥ 0.
Această proprietate rezultă din definiția lui f (x) - derivatul unei funcții nereducătoare nu poate fi negativ.
2. Condiție de normalizare: Această proprietate rezultă din (5.8), dacă am pus x = ∞ în ea.
Geometric, proprietățile de bază ale densității f (x) sunt interpretate după cum urmează:
- întreaga curbă de distribuție nu se află sub axa absciselor;
- Suprafața totală delimitată de curba de distribuție și axa abscisei este egală cu unitatea.
19. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.
Legile de distribuție a unei variabile aleatorii sunt caracteristici exhaustive. Fiecare lege de distribuție este o funcție, indicația căreia descrie complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic.
Cu toate acestea, de multe ori legea distribuției este necunoscută și este necesar să se limiteze la mai puține informații; adesea sunt suficienți doar câțiva parametri numerici care caracterizează anumite caracteristici ale distribuției; de exemplu, valoarea medie sau răspândirea unei variabile aleatorii ("gradul de întâmpinare"). Aceste numere se numesc caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.
Considerăm o variabilă aleatoare Y care depinde funcțional pe o variabilă aleatoare X cu legea de distribuție cunoscută F (x): Y = # 966; (X).
Dacă X este o variabilă aleatoare discretă și seria de distribuție este cunoscută, ea are forma:
Apoi așteptarea matematică a unei variabile aleatoare Y este definită după cum urmează:
Dacă variabila aleatoare X este continuă și are densitatea de distribuție f (x), atunci înlocuind probabilitățile pi în formula (9.1) cu elementul de probabilitate f (x) dx și suma de către integrale obținem:
Pentru o variabilă aleatorie mixtă, expresia așteptării matematice este convertită în forma:
Relațiile (9.1), (9.2) și (9.3) sunt o noțiune generală de așteptare matematică, ceea ce face posibilă calcularea așteptărilor matematice pentru funcțiile nonrandom ale unui argument aleatoriu.
20 Distribuție binomială.
Variabila aleatoare discrete X are o distribuție binomială dacă legea distribuției este descrisă de formula Bernoulli:
unde p este parametrul de distribuție
Distribuția elimină cei doi parametri n și p.
În practică, distribuția binomică are loc în următoarele condiții. Să se producă o serie de încercări n, în fiecare dintre care apare un eveniment cu probabilitate p. Variabila aleatoare X, egală cu numărul de apariții ale evenimentului în experimente n, are o distribuție binomială.
Caracteristicile numerice: M [X] = n, D [X] = npq.
Numele se explică prin faptul că partea dreaptă a ecuației poate fi considerată termenul general al expansiunii Binomului lui Newton:
,
Variabila aleatoare discretă X are o distribuție geometrică dacă probabilitățile valorilor sale posibile sunt 0,1, ..., k. sunt definite după cum urmează:
unde p este parametrul de distribuție și q = 1-p.