Progresul substanțial al lui G. Darboux în teoria unui integral integrat. împreună cu suma integrală Riemann, au introdus sumele superioare și inferioare (denumite mai târziu sumele Darboux).
Deci, permiteți ca funcția să fie limitată și există o partiție a acestui interval. Acest lucru înseamnă că - este limitat la orice. Prin urmare, prin a doua teorema a lui Weitstrass. .
Deci, să alegem o partiție specifică a segmentului în n părți. Acum, selectăm punctele intermediare pe fiecare dintre aceste părți astfel încât suma zonelor dreptunghiurilor rezultate să fie minimă. (vezi problema calculării zonei unui trapez curbilinar)
Construim suma integrală în modul următor: în fiecare interval al partiției T alegem punctul astfel încât să se obțină dreptunghiul zonei minime, adică astfel încât înălțimea să fie cea mai mică. Cea mai mică înălțime va fi dată de operație: Suma integrată. construit pe astfel de dreptunghiuri, evident, este cea mai mică din toate sumele posibile primite pe partiția dată. Această sumă se numește suma mai mică a lui Darboux.
În mod similar, putem construi cea mai mare sumă pentru o partiție dată: pe fiecare dintre intervalele partiției T alegem un punct astfel încât valoarea să fie maximă :. Aceste valori corespund sumei integrale. numită suma superioară a lui Darboux. Acum acordăm o definiție mai riguroasă.
definiție
- cantitatea superioară de Darboux
- cantitate mai mică de Darboux
Sumele Darboux depind de împărțirea lui T și nu depind de alegerea punctelor intermediare
Noi numim o partiție o continuare (rafinament) a unei partiții dacă fiecare punct al partiției este un punct al partiției. Cu alte cuvinte, partiția fie coincide cu partiția, fie se obține din adăugarea a cel puțin un punct nou.
Proprietatea.
Dacă partiția este o continuare a partiției, atunci (*), adică atunci când divizăm segmentul, suma inferioară Darboux nu scade, iar cea superioară nu crește.
Pentru dovada este suficient să se ia în considerare cazul când partiția este obținută prin adăugarea unui singur punct. Fie u segmente. la care punctul împarte segmentul și u sunt lungimile acestor segmente.
Indicăm asta. Este evident că. În sume, toți termenii corespunzători sunt egali, cu excepția celor care au legătură cu segmentul. Prin urmare:
Inegalitatea este dovedită în mod similar. Prin urmare, folosind inegalitatea (dovedită în proprietatea 1), obținem lanțul inegalităților (*).