Formularea matematică a problemei tomografiei computerizate cu raze X, transformarea radonului și formula de inversiune
În tomografia cu raze X a computerului, un obiect 3D este reprezentat de obicei ca un set de secțiuni subțiri. Pentru a restabili densitatea de cutoff, se rezolvă problema inversării transformării radonice bidimensionale. Transformarea radonului unei funcții f (x, y) este o funcție definită de
De obicei, metoda de convoluție și de proiecție inversă este folosită pentru a restabili funcția a două variabile de-a lungul integralelor sale de-a lungul liniilor. În această metodă, formula de inversiune pentru transformarea Radon este scrisă fără utilizarea explicită a funcțiilor generalizate. Cu toate acestea, forma cea mai generală și cea mai naturală a formulării de inversiune pentru transformarea radonului este obținută prin utilizarea aparatului de funcții generalizate. La sfârșitul acestei secțiuni vom lua în considerare relația dintre metoda funcțiilor generalizate și metoda de proiectare inversă și convoluție.
Înainte de prezentarea algoritmului numeric real, se va da o derivare a formulei de inversiune, ceea ce face posibilă trecerea la algoritm într-un mod natural.
În virtutea
funcția pentru orice fix p este determinată de valorile sale pentru. Acest lucru ne permite să mergem la funcție
Aici, L (r) este ortogonal la raza având un unghi. direcția pozitivă a axei X și distanțată de origine cu o distanță r (r 0), cu r <0 L(r. ) - ?рямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|. ). Выразим f(x, y ) через I(r. ).
unde este transformata Fourier din f. apoi, trecând la coordonatele polare după transformările elementare ale întregului. pe intervalul [. 2?]. Noi primim
Introducem funcția S (z), setarea
Pentru fixare. Funcția S (z) este transformarea inversă unidimensională Fourier a produsului și | r |. Pentru egalitate, vezi [20]
Transformarea Fourier inversă a lui | r | este o funcție generalizată -1 /? z 2. Trecând de la transformarea Fourier a produsului la convoluție, obținem S (z) = I (z.) (-1 /? z 2). Folosind regularizarea funcției 1 / z 2 [19], ajungem la expresie
Astfel, pentru f (x, y) avem formula
care ne permite să exprimăm funcția dorită prin datele observabile.
Înainte de a trece la versiunea discretă, facem o serie de observații legate de justificarea corectitudinii algoritmilor în situații reale. Funcțiile generalizate sunt funcționale în spațiul funcțiilor infinit de diferențiate rapid în descreștere. Cu toate acestea, atunci când construirea aproximările inițiale ale numărătorilor efective de date pentru a specifica puncte discrete, este de dorit să aibă cerințe mai puțin stricte privind netezimea funcțiilor aproximative. Convoluție cu funcții generalizate, în special, cu funcția de 1 / z 2. poate fi determinată pentru funcții mult mai puțin netedă, este foarte important în demonstrarea corectitudinii utilizării algoritmilor numerici derivate prin utilizarea aparatului de funcții generalizate, pentru date reale.
Să mergem la versiunea discretă. Presupunem că f (x, y) = 0 în afara unui cerc de rază R cu centrul la zero. Datele inițiale sunt valorile lui I (ri.I), aici ri sunt probele în intervalul [-R, R], 1. i. M - contează în intervalul [0. ], 1. j. N. Dacă acum sunt valori date ale funcției I (r.). (1.5.1), apoi folosind (1.5.1) și (1.5.2) putem obține o aproximație la f (z) (x, y). În cele ce urmează, presupunem că citirile pe axele r și. sunt echidistant.
Pentru fiecare fix. j definim în modul următor.
Funcția are un prim derivat continuu față de r.
La locurile de zăbrele, funcția de aproximare coincide cu probele date, iar derivatul său la aceste puncte este egal cu eșantionul. Asta este, următoarele egalități sunt adevărate :. . aici h = 2R / (M-1), I (r0.j) = I (rM + 1.j) = 0, i = 1, ..., M.
Pe intervalul [ri. ri + 1]
este un polinom de gradul trei de r.
Condițiile de mai sus permit obținerea într-o formă explicită a coeficienților splinei corespunzătoare. Calculele directe arată că
Q (x) funcția are un al doilea discontinuități derivate, dar modulul al doilea derivat integrabile folosind acest fapt poate arăta că S0 convoluție (z) = Q (x) (-1 /? Z 2) este exprimată prin (1.5.1). Prin calcule directe obținem
Graficele funcțiilor Q (x) și S 0 (z) pentru diferite valori ale h sunt prezentate în Fig. 1 și Fig. 2.
Înlocuind S și integrale printr-o sumă parțială în (1.5.2), obținem aproximația f * (x, y) la funcția f (x, y),
După cum sa menționat deja mai sus, de obicei în tomografia computerizată, se folosește metoda de convoluție și proiecție inversă. Luați în considerare relația dintre această metodă și metoda descrisă în această secțiune. Folosind integrarea prin părți, convoluția cu funcția generalizată 1 / z 2 poate fi înlocuită prin diferențiere și convoluție cu 1 / z (transformarea Hilbert).
Aceasta este funcția
S (z) = I (z) 1 / z2
pot fi reprezentate în formă
La construirea algoritmilor numerici în locul unei funcții 1 / z generalizate sau, echivalent, integralei ca valoare principală, convoluția metoda și backprojection folosind o secvență de funcții regulate pA (z), converge la 1 / z (în sensul funcțiilor generalizate) pentru A tinde spre infinit. Folosind integrarea prin părți, transferat într-o funcție de diferențiere pA (z), obținându-se astfel o funcție regulată convergente la 1 / z 2. adică convoluție generalizată cu o funcție de 1 / z 2 este înlocuit cu o secvență regulată a (z) funcții convolutii p / A.
Astfel, pasul de convoluție în metoda clasică poate fi interpretat după cum urmează: datele inițiale sunt aproximate printr-o funcție pas și o convoluție este realizată cu o funcție obișnuită care este o aproximare a funcției generalizate 1 / z 2.
În metoda din această secțiune, datele originale sunt aproximate prin funcții mai clare, splinele de ordinul trei. Acest lucru ne permite să calculam convoluția cu funcția generalizată 1 / z 2 exact în același mod, într-o formă explicită.
Etapa de proiecție inversă corespunzătoare integrării convoluției în ambii algoritmi este aceeași.
Atunci când se utilizează algoritmi în situații reale, este important să se poată evalua efectul zgomotului asupra preciziei aproximațiilor obținute. Prezența unei expresii explicite pentru funcția de aproximare face posibilă calcularea variației erorii în orice punct pentru cele fixe. r. cunoscute caracteristicile statistice ale zgomotului. Pentru cazul zgomotului staționar independent, aditiv. (z), putem face următoarea remarcă. Luați în considerare procesul. care este o convoluție cu 1 / z 2 proces. Densitatea spectrală a acestei transformări liniare este | | |. Pentru densitățile spectrale ale proceselor. și. obținem relația f? (A) = | 2 f? (?). proces ispersiya. este finită dacă f este integrabilă. (?). Există un proces. diferențiat în pătratul mediu. Pentru ca convoluția să poată fi exprimată prin formula (1.5.1), procesul. este necesar să se impună condiții suplimentare care necesită, de exemplu, ca funcțiile eșantionului să aibă un derivat finit secundar cu probabilitatea unu.
Modelarea numerică și restaurarea densității obiectelor reale utilizând metoda prezentată în acest paragraf au arătat o mare precizie a metodei, în special în studiul obiectelor și defectelor având o configurație complexă și zone cu granițe ascuțite.
Exemple de recuperare, folosind metodele prezentate în acest paragraf, sunt prezentate în Figura 3. Obiectul de testare constă din 10 particule. Fig.3 (stânga) corespunde la 10 rotații, iar Fig.3 (dreapta) corespunde la 32 de rotații.
Scurtă descriere. Fereastra de lucru a programului este împărțită în 3 părți. În partea stângă, utilizatorul stabilește funcția sursă. În centru, programul afișează o transformare radonică bidimensională a unei funcții date. În partea dreaptă a ferestrei este afișată ieșirea programului - funcția originală restaurată. Pentru a seta funcția, puneți cursorul mouse-ului în fereastra din stânga și faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului. Dacă nu eliberați butonul stâng al mouse-ului și mutați cursorul, puteți trage o linie în acest fel. Opțiunile "Culori", "Formă", "Dimensiune" vă permit să specificați forma și densitatea funcției create cu ajutorul mouse-ului. Opțiunea „Culori“ - „roșu“ obiect specifică o densitate de 1, opțiunea „Culori“ - „negru“ stabilește densitatea 0, opțiunea „Culori“ - „mediu“ stabilește densitatea de 0,5. Atunci când culorile (densitățile) sunt suprapuse una peste alta, valoarea densității este determinată de ultima culoare. Comanda "Clear" șterge fereastra din stânga. Opțiunile "Detectoare" și "Întoarce" specifică numărul de detectoare (integrale de-a lungul liniilor drepte) și numărul de rotații ale riglei cu surse în jurul funcției. Comanda "Start" pornește programul. Figurile 4, 5 și 6 prezintă rezultatele programului pentru diferite valori ale detectorilor și rotațiilor. În această funcție inițială are următorii parametri: densitatea de 1 cerc mare și dimensiunea de 21x21, 13x13 elipsă în interiorul cercului și o densitate de 0, într-o elipsă - elipsă densitate 7x7 0.5. De asemenea, în interiorul cercului mare sunt 7x7 elipsă - 0.5 si o densitate de 3x3 - densitatea 0. Pentru Figura 4 numărul de spire și detectoarele 32 este egal cu numărul de rotații în figura 5 și detectoare 64 este egal cu numărul de spire din Figura 6 este de 256 și detectori.
Folosind mișcarea continuă a mouse-ului, puteți specifica obiecte mai complexe. Figura 7 prezintă un exemplu de astfel de obiecte.