6 .1.1. Numerele exacte și aproximative
6.1 .2. Eroare absolută și relativă
6.1.3. Încercați sarcini pe tema "Elemente ale teoriei erorilor"
6.1.1. Numerele exacte și aproximative
Precizia numărului, ca regulă, este incontestabilă atunci când vine vorba de valori de date întregi (2 creioane, 100 de arbori). Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, atunci când este imposibil să se indice valoarea exactă a unui număr (de exemplu, când se măsoară un obiect cu o riglă, se elimină rezultatele unui instrument etc.), avem de-a face cu date aproximative.
O valoare aproximativă este un număr care diferă ușor de valoarea exactă și îl înlocuiește în calcule. Gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea sa exactă se caracterizează printr-o eroare.
Există următoarele surse principale de eroare:
Erorile în formularea problemei. Rezultatul este o descriere aproximativă a fenomenului real în termeni de matematică.
Erori de metodă. asociată cu dificultatea sau incapacitatea de a rezolva sarcina și de ao înlocui cu una similară, astfel încât să se poată aplica o metodă cunoscută și accesibilă de soluționare și să se obțină un rezultat apropiat de cel dorit.
Erori nerecuperabile. legate de valorile aproximative ale datelor inițiale și cauzate de efectuarea calculelor pe numerele aproximative.
Erori de rotunjire. legate de rotunjirea valorilor datelor inițiale, a rezultatelor intermediare și finale obținute prin mijloace computaționale.
6.1.2. Eroare absolută și relativă
Contabilitatea erorilor este un aspect important al aplicării metodelor numerice, deoarece eroarea în rezultatul final al rezolvării întregii probleme este rezultatul interacțiunii dintre toate tipurile de erori. Prin urmare, una dintre principalele probleme ale teoriei erorilor este estimarea corectitudinii rezultatului bazat pe acuratețea datelor inițiale.
Dacă numărul exact și valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.
Cea mai simplă măsură cantitativă de eroare este eroarea absolută, care este definită ca fiind
(6.1.2-1)
După cum se poate observa din formula 6.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, din magnitudinea erorii absolute, nu este întotdeauna posibil să se tragă concluzia corectă despre calitatea aproximării. De exemplu, dacă, și vorbim despre detaliile mașinii, măsurătorile sunt foarte dure și, dacă dimensiunea navei, atunci - foarte precisă. În acest sens, a introdus conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este atribuită modulului de valoare aproximativă ().
(6.1.2-2)
, dar, atunci și dacă și,
atunci.
Pentru a evalua numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunii:
la adăugarea și scăderea numerelor, erorile absolute ale numerelor se adaugă
atunci când se înmulțește și se împart numărul între ele, se adaugă erorile lor relative
atunci când numărul aproximativ este ridicat la o putere, eroarea sa relativă este înmulțită cu exponentul
Exemplul 6.1.2-1. Funcția este dată :. Găsiți erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este numărul exact și eroarea sa este zero.
Prin definirea astfel, eroarea relativă, se poate găsi o valoare de eroare absolută ca în cazul în care valoarea este determinată de la valori aproximative
Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul prin formulele de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile limită ale formularului sunt evaluate:
(6.1.2-3)
unde și sunt cunoscute cantitățile care sunt limitele superioare ale erorilor absolute și relative, în caz contrar ele sunt numite erori relative limitative absolute și limitative. Astfel, valoarea exactă se situează în intervalul:
și
dacă
E
Dacă valoarea este cunoscută, atunci și dacă valoarea este cunoscută, atunci
Eroarea absolută absolută a unei funcții a formei care este diferențiată într-o anumită regiune, cu valori cunoscute ale argumentelor și, de asemenea, cu erorile absolute limitative limitate ale argumentelor, se calculează prin formula:
(6.1.2-4)
și, respectiv, eroarea relativă limitată a funcției
(6.1.2-5)
În cazul particular pentru o funcție a unei variabile (pentru m = 1):
Exemplul 6.1 .2-2. Estimați erorile absolute și relative ale numărului aproximativ.
Numărul este un număr transcendental, reprezentat de o fracțiune infinită neperiodică.
Valoarea aproximativă a unui număr.
Marja de eroare absolută, eroarea relativă a numărului
Exemplul 6.1.2-3. Găsiți cifrele semnificative ale numărului.
Numerele semnificative numeric sunt toate cifrele din înregistrarea sa, începând cu primul non-zero din stânga. Numărul numit numel este numit corect dacă eroarea absolută a numărului nu depășește unitatea cifrei corespunzătoare acestei cifre.
Numerele numerice sunt subliniate:
Exemplul 6.1.2-4. Determinați cifrele corecte ale numărului și subliniați.
Dacă, atunci, numărul corect din numărul 5.
Dacă, atunci, numărul corect din numărul 4.
Dacă, atunci, numărul corect din numărul 7.
Dacă acesta este numărul corect din numărul 8.
Exemplul 6 .1.2-5. Calculați erorile din operațiile aritmetice folosind MathCad.
Pentru a estima erorile operațiunilor aritmetice, ar trebui utilizate următoarele afirmații: eroarea absolută a sumei algebrice (sumă sau diferență) nu depășește suma erorilor absolute ale termenilor. Fie numerele u date cu erori absolute u.
^ Să calculam erorile produsului și coeficientul:
Exemplul 6.1.2-6. Calculați eroarea funcției prin intermediul programului MathCad.
Prin condițiile inițiale date presupunem că erorile sunt egale
Valoarea funcției este
6.1.3. Încercați sarcini pe această temă
"Elemente ale teoriei erorilor"
Eroarea unui număr este
gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea exactă
măsurarea numărului de inexactități
măsoară precizia unui număr
procent din numărul de precizări
Modulul de diferență între valoarea exactă și cea aproximativă este
eroare relativă
eroare absolută
precizie
nu există un răspuns corect în listă
Eroarea relativă este exprimată prin raportul
eroare absolută a modulului diferenței dintre cifrele aproximative și cele exacte
modul de număr aproximativ de eroare absolută
eroare absolută la modulul de valoare aproximativă
nu există un răspuns corect în listă
Eroarea absolută a numărului este măsurată
în acțiuni
în aceleași unități de măsură ca și numărul însuși
în procente
este o cantitate fără dimensiuni
Eroarea relativă a numărului este măsurată
este o cantitate fără dimensiuni
în procente
în procente sau fracții
în aceleași unități de măsură ca și numărul însuși
Eroarea datorată efectuării acțiunilor cu privire la datele obținute cu precizie limitată este
rotunjire eroare
eroare de metodă
nu există un răspuns corect în listă
eroare nerecuperabilă
La calcularea erorii rezultatului adăugării a două numere aproximative
erorile lor absolute sunt scăzute
erorile lor absolute se adaugă
erorile lor absolute sunt împărțite
erorile lor absolute se înmulțesc
La calcularea erorii rezultatului obținut prin scăderea de la un număr aproximativ al unui altul
erorile lor absolute sunt scăzute
erorile lor absolute sunt împărțite
erorile lor absolute se adaugă
erorile lor absolute se înmulțesc
Atunci când se calculează eroarea rezultatului obținută prin înmulțirea numerelor aproximative una cu cealaltă,
erorile lor relative se înmulțesc
erorile lor relative sunt scăzute
erorile lor relative sunt împărțite
erorile lor relative se adaugă
Atunci când se calculează eroarea în rezultatul obținut atunci când un număr aproximativ este crescut la o putere,
eroarea relativă a numărului este înmulțită cu exponentul
erorile relative în numărul și exponentul gradului sunt înmulțite
eroarea relativă a numărului este împărțită de exponent
erorile relative ale numărului și exponentului sunt adăugate
Pentru a spori acuratețea rezultatului calculelor prin metode numerice,
măriți valoarea erorii specificate în rezultat
reduceți valoarea erorii specificate în rezultat
crește numărul de iterații
nu există un răspuns corect în listă
Eroarea în soluția numerică a problemei este determinată de
condiționalitatea sarcinii
eroarea în reprezentarea numerelor reale într-un calculator
sensibilitatea algoritmului de calcul la erorile de rotunjire
valoarea datelor originale