Definiția. Se spune că subspațiul vectorul ortogonalenk-spațiu. în cazul în care vectorul este perpendiculară pe orice vector al acestui subspațiu.
Definiția. complement ortogonal subspațiul spațiu euclidian este setul de toate vârstele-de la Tori. subspațiu ortogonală. Indicat.
Definiția. Lăsați vectorul este prezentat sub formă. în cazul în care. a. atunci vectorul este numit proiecția ortogonală a vectorului pe subspațiul. vector este numit vector de componente ortogonale în ceea ce privește subspațiu
număr numit distanța până la subspațiul vectorului
. iar unghiul dintre vectorii și se numește unghiul dintre vectorul și subspațiul.
Aprobarea. Complementul ortogonal pe subspațiul spațiu euclidian în sine este un subspațiu de spațiu euclidian.
Aprobarea. + Suma spațiilor este o sumă directă.
Aprobarea. Dacă - un subspațiu de spațiu euclidian. egalitatea + =.
1. Găsiți proiecția ortogonală a vectorului pe subspațiul. generate de vectorii
Decizie. Mai întâi definim baza subspatiului. Verificați dacă vectorii liniar independenți. independență Condiții liniare (dependență) a acestor vectori este un sistem de ecuații pentru coeficienții. Să ne găsim soluția acestui sistem cu ajutorul unor transformări elementare ale matricei sale:
După cum se poate observa, gradul de sistem este de 3, determinantul este nenul. În consecință, un sistem uniform de trei ecuații pentru cele trei necunoscutele are doar o soluție banală.
Astfel, vectorii sunt liniar independenți și cuprind
bază subspațiul predeterminat. Prin definiție, un vector. reprezentând proiecția ortogonală pe subspațiul. deținute și ortogonale. Aceste condiții ca rezultat până la un sistem de ecuații pentru vectorul de coordonate în baza subspațiu.
în cazul în care - elementele matricei Gram.
În conformitate cu formula soluția Cramer a acestui sistem are forma
unde - determinantul matricei Gram a sistemului de vectori de bază, și - determinantul obținut din determinantul înlocuirii Gram-lea coloană în coloana termenilor liberi scrise în afara sistemului.
În această problemă, elementele de matrice Gram sunt egale
Elemente ale coloanei termenilor liberi :.
Cu aceasta în minte, pentru factorii determinanți au
Astfel, pentru un vector ortogonal prektsii pentru a obține spațiu-subspațiul
3.76. Găsiți dimensiunea și o bază pentru complementul ortogonal pe durata liniară a vectorilor:
3.77. Găsiți dimensiunea și o bază pentru complementul ortogonal pe subspatiul definit de sistem
3.78. Găsiți proiecția ortogonală și vectorul componentelor ortogonale în raport cu subspatiul generat de vectorii. dacă
3.79. Găsiți vectorul de proiecție ortogonală și o componentă ortogonală în raport cu subspațiul definit de sistem
3,80. Găsiți vectorul de proiecție ortogonală și o componentă ortogonală în raport cu complementul ortogonal pe durata liniară a vectorilor. .
3.81. Găsiți distanța vectorul la subspații L și unghiul dintre ele, în cazul în care sistemul este setat
3.82. Găsiți distanța vectorului liniar shell vectori. iar unghiul dintre și.
3.83. Găsiți unghiul dintre vectorul și subspațiul calibrat de vectorii. dacă
3.84. paralelipiped Base-dimensionale construit pe vectorii. Acesta servește paralelipiped dimensionale construit pe vectorii. Găsiți volumul paralelipipedic n-dimensional și lungimea perpendiculara pe bază dacă. . . .
3.85. Găsiți unghiul dintre n cub -dimensional diagonală (sm.zadachu 3.67) și k feței -dimensional.