Treaba mea se numește fracțiuni din proba de analizat. De ce am ales acest subiect?
În a 7-matematica clasa, favoritul nostru a fost împărțit în două discipline diferite: algebra si geometrie. La început ne-am gândit cu toții clasa care face obiectul a două noi, dar sa dovedit că algebra este foarte similar cu clasa de matematică 1-6, iar geometria ne-am întâlnit uneori în manuale. Practic, pe una dintre primele lecții ale cadrelor didactice algebră a sugerat că vom face un exemplu din manual, care, după cum se părea la noi, a fost destul de simplu, a trebuit doar să efectueze toate acțiunile cu sârguință.
manual nostru „Algebra cu studiul aprofundat al matematicii Grad 7“
Am început să producă fracții la un numitor comun, rapid și a dat seama că a fost destul de dificil. Se pare că există un mod foarte simplu!
Dacă trimiteți o fracție:
Profesor ne-a spus că o astfel de fracție cu numărătorul 1 - numit alicotele! Sunt foarte interesat de - când au fost aceste fracțiuni ce alte exemple pot fi rezolvate cu ajutorul lor etc. Așa că am decis să învețe despre fracții alicote mai mult!
fracțiuni Porțiuni a început să fie folosite în cele mai vechi timpuri. Nevoia de numere fracționare este rezultatul activității umane practice. Este nevoie să găsească o unitate de acțiuni a apărut în strămoșii noștri cu prada dupa vanatoare. A doua cauză semnificativă a numerelor fracționare ar trebui să fie considerate ca fiind valoarea masurata folosind unitatea de măsură selectată.
Prima fracție, care sa întâlnit oameni au avut jumătate. Deși numele tuturor acestor fracțiuni sunt asociate cu numele numitorul lor (trei - „al treilea“, patru - „trimestru“, etc ...), pentru jumătate nu este - numele ei în fiecare limbă nu are nimic de-a face cu cuvântul „doi“. Împușcat următoare a fost al treilea.
În Egiptul antic, „natoyaschego“ Matematica a fost considerat doar o fracție alicote. Prin urmare, fiecare fracție căutat să se introducă ca suma fracțiunilor alicotice și cu diferite numitori.
Astfel, prima fotografie, care ne introduce în poveste, este o fracțiune din forma - - așa-numitele fracțiuni de unități sau părți alicote.
fracțiune egiptean - suma matematică a mai multor părți alicote de fracțiuni ale formei (fracțiuni alicotice așa-numitul). Cu alte cuvinte, fiecare fracțiune are o sumă numărător egal cu unitatea, numitorul reprezentând un număr natural.
fracțiune egiptean este un rezultat pozitiv rațional formă număr a / b; De exemplu, fracția egiptean scris mai sus poate fi scrisă ca fracție 43/48. Se poate demonstra că orice număr rațional pozitiv poate fi reprezentat sub formă de fracție egipteană. Cantitatea de tipul celor utilizate de către matematicieni. ca definiția pentru fracțiile începând din momentul Egiptului antic în Evul Mediu.
fracțiunile individuale se găsesc în cele mai vechi, textele existente matematice, compuse din mai mult de 5000 de ani - vechi papirus egiptean și tabletele cuneiforma babiloniene.
Deci, toată fracțiunea egiptenii a fost înregistrată ca valoarea acțiunilor, adică fracțiunile de forma 1 / n. De exemplu: 8/15 = 1/3 + 1/5. Fracțiunea 1 / n (unde n - număr natural)., Pe care egiptenii au favorizat în matematică moderne numite alicote (de la „unele latine aliguot-«») alicotele Aceasta este, de fracțiuni cu numărătorul fracției menționate 1. Și chiar și fracțiunile din proba de analizat sunt de multe ori a căutat să prezinte ca o sumă de alicoți mici de fracțiuni. de exemplu,
Aceste fracțiuni au fost utilizate în combinație cu alte forme de înregistrare a fracțiunilor egiptene să împartă „Hecate“, principala măsură a volumului în Egiptul antic, adică fracțiunile alicotice necesare egiptenii pentru scopuri practice.
Luați în considerare următoarea problemă: „Secțiunea 7 pâini între 8 persoane,“ Dacă se taie fiecare in 8 bucati de pâine, ar trebui să-și petreacă 49 de bucăți. Și în egiptean această problemă a fost rezolvată după cum urmează: 7/8 = 1/2 +1/4 +1/8. Aceasta înseamnă că fiecare persoană trebuie să se acorde uncii polhleba sfert de pâine și pâine. Va trebui să facem incizii de aproape trei ori mai mici.
fracțiune egiptean continuă să fie utilizate în Grecia și mai târziu matematicieni antice din întreaga lume, în Evul Mediu, în ciuda comentariilor care îi sunt matematicieni vechi. De exemplu, Klavdiy Ptolemey spus despre inconvenientul folosind fracții egiptene în comparație cu sistemul babilonian (sistem numeric pozițională).
Important de lucru privind studiul fracțiilor egiptene au avut un matematician Fibonacci al secolului al XIII-lea, în lucrarea sa «Liber Abaci» - acest calcul, folosind zecimale și fracții ordinare, în cele din urmă fracțiune egiptean înlocuit. Fibonacci a folosit fracțiuni de înregistrare complicate, care a inclus un număr record cu bază mixtă și înregistrează ca sume de fracții, și este adesea utilizată fracția egipteană. De asemenea, în carte au fost date algoritmi de traducere a fracțiunilor obișnuite în Egipt.
M-am întâlnit cu diverse probleme ale antichității, care pot fi soluționate prin intermediul porțiunii de probă. Mai mult ma interesat întrebare fracțiuni de partiționare în alicote. Prin examinarea descompunerea fracțiuni ale formei 2 / n și 2 / (2n + 1), cu formula I au primit partițiilor formă matematică 2 / n = 1 / n + 1 / n; 2 / (2n + 1) = 1 / (2n + 1) + 1 / (2n + 1) și am considerat evident de studiu pentru a primi unul mai formula 2 / (2n + 1) = 1 / (n + 1) + 1 / (2n + unul) (n + 1), de ex
când n = 2 2/5 = 1/3 + 1/15
când n = 5 2/11 = 1/6 + 1/66, etc.
Pentru a trimite un număr ca o sumă de fracții din proba de analizat, uneori trebuie să arate creativitatea mai puțin frecvente. De exemplu, numărul 2/43 este exprimat ca = 1/42 + 2/43 1/86 + 1/129 + 1/301. Efectuați operații aritmetice pe numere, afișarea acestora în suma de fracțiuni de unități, foarte inconfortabil. Prin urmare, în procesul de rezolvare a problemelor pentru descompunerea alicote din fracțiuni ca suma fracțiunilor alicote mici au avut ideea de a sistematiza descompunerea fracțiunilor ca formulă. Această formulă este valabilă, dacă doriți descompunerea unei părți alicote a fracțiunii în două alicote ale fracțiunii.
Formula este următoarea:
Exemple fracții de descompunere:
Dar, dacă ne transformăm formula noastră, obținem următoarea egalitate folositoare:
Adică o fracțiune alicotă poate fi reprezentată de diferența dintre cele două fracțiuni de probă, sau diferența dintre cele două porțiuni, numitorul care este numărul de ordine este egal cu produsul lor.
Să ne întoarcem la formula și să dovedească această ecuație:
(1 / (n + 1)) + (1 / n * (n + 1)). aducând fracțiuni la un numitor comun, obținem:
(N + 1) / ((n + 1) * n) după reducere obținem: 1 / n.
Deci, se pare că 1 / n = 1 / n. Formula noastră este adevărată.
Dar vom merge mai departe, și se bazează pe diferența de fracțiuni de probă rezolva problema aparent greu de rezolvat pentru persoana medie:
Noi folosim formula noastră pentru descompunerea unei părți alicote a fracțiunii sub forma diferenței:
1 = 1/20 / (4 * 5) = 1 / 4-1 / 5, etc.
Substitutiv pus deja expresia în exemplul nostru, obținem:
Am prezentat o formulă ca ușurința de descompunere a unei fracții alicote pentru 2 termeni. La descompunere în două componente una se obține: 1 = 1/2 + 1/2 (Formula este valid!). Pentru a descompune 1 la 3 termeni, vom lua o lovitură și o cotă parte de formula extinde în două alicote ale fracției:
Pentru a fi împărțit în 4 termeni, vom împărți în alt împușcat două porțiuni fracției:
În ceea ce privește 5: 1/6 = 1/7 + 1/42 => = 1/2 + 1 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42.
Soluția problemelor din manual
1 reprezintă numărul de cantități diferite de alicote de fracțiuni
A) trei termeni
B) patru termeni
B) cinci termeni
1/2 + 1 = 1/2 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 1/3 + (1/7 + 1 / 42) = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1/2 + (1/4 + +1/12) + 1/7 + 1/42 = 1/2 + 1/4 +1/12 + 1/7 + 1/42
Numărul 37 adevărată egalitate?
Și scade din aceasta suma
Astfel, dezvoltarea acestei teme, am aflat că primele fracțiuni, care a funcționat oamenii au fost alicote din fracțiunea. Am constatat că fiecare rațională formă număr a / b poate fi descompusă în fracțiuni individuale.
Probleme cu utilizarea alicote de fracțiuni cuprind o clasă largă de sarcini non-standard. Porțiuni fracțiuni sunt utilizate atunci când doriți ceva să fie împărțit în mai multe părți, cu cel puțin suma de acțiune în acest scop. fracțiunile de descompunere în două fracțiuni de alicote sistematizate sub forma unei formule, care este transformat cu ușurință a decis probleme de matematica Olympiad de-a lungul anilor.
După ce a rezolvat problema fracțiunilor alicote de descompunere în două alicote de fracțiuni, am ajuns la concluzia că extinderea a trei, patru, cinci, etc. alicote de fracții pot fi produse prin extinderea unul dintre termenii în două fracțiuni, termenul următor în două părți alicote ale fracțiunilor, etc.
Astfel, alicote ale fracțiunilor (cu numărătorul 1) pentru o lungă perioadă de timp au fost singurele fracțiuni la care odată ce oamenii știau cum să opereze și reguli de acțiune cu fracții arbitrare dezvoltate „relativ recent“. În matematică moderne în loc de fracțiuni egiptene folosind fracții, zecimale. dar fracțiune egipteană continuă să fie studiate în teoria numerelor și istoria matematicii.
Am ales acest subiect pentru că am fost curios cu privire la modul în care orice fracțiuni din proba de analizat, modul în care acestea au fost folosite în cele mai vechi timpuri și modul în care acestea sunt utilizate în prezent. Mi-a placut de lucru cu această temă, datorită acestui fapt, am învățat multe despre alicotele.