Sistemul de rădăcină [en] Dacă un anumit grup E8. Lie grup are un număr mare de simetrii.
Simetria se găsește nu numai în geometrie. dar și în alte domenii ale matematicii. Simetria este un fel de invarianță. imuabilitatea proprietății în anumite transformări.
Având în vedere un obiect X structurat de un anumit fel, simetrie - un obiect de afișare în sine, păstrând structura obiectului. Simetria apare în diferite forme. De exemplu, dacă X - cu o multitudine de structuri suplimentare, simetrie - o cartografiere a bijective pe sine, dând naștere la permutării grupuri. Dacă obiectul X - o multitudine de puncte în plan, cu structura sa metric sau orice alt spațiu metric, simetrie - bijectie al păstrării unei distanțe între orice pereche de puncte (izometric).
În general, orice structură în matematică va avea propriul tip de simetrie, și multe dintre ele sunt menționate în acest articol.
Simetria în geometria
Simetrii geometrii elementare (cum ar fi rotația și reflecție) sunt descrise în articolul principal despre simetrie.
simetrie abstractă
Viewpoint Klein
Fiecare geometrie Feliks Kleyn grupări legate de simetrie care stau la baza. Ierarhia geometrii apoi a prezentat ierarhia grupurilor și invarianți lor ierarhie. De exemplu, grupul de lungimi, unghiuri și spațiu sunt stocate în simetria euclidiană, în timp ce doar structura de incidență și raportul cruce este stocat în transformări proiective mai generale. Conceptul de paralelism. care este stocat în geometria afină. Ea nu are nici un sens în geometria proiectivă. Astfel, separarea grupul de simetrie al geometrii, comunicarea dintre simetrii pot fi setate la nivel de grup. Având în vedere că grupul este un subgrup de geometrie afina a geometriei proiective, orice invariantă concept în geometria proiectivă a priori are sens în geometria afină, ceea ce nu este adevărat în sens invers. Dacă adăugați simetria necesară, pentru a primi mai puternică teorie, dar mai puțin decât conceptele și teoreme (care va fi mai profund și mai general).
Viewpoint Thurston
Uilyam Torston a introdus o versiune similară a simetriei în geometrie. Modelul Geometrie - este pur și simplu conectat buna colector X, împreună cu o operațiune de tranzitivă a grupului G pe X, cu stabilizatori compacte. Lie grup poate fi privit ca o geometrie grup de simetrie.
Modelul se numește geometria maximă. în cazul în care G este maximă între grupurile care acționează lin și tranzitiv pe X cu stabilizatori compact, adică, în cazul în care acesta este grupul maxim de simetrie. Uneori, această definiție este inclus în definirea geometriei modelului.
Structura geometrica pe o varietate M - este morfism diferențiabilă de la M la X / Γ pentru un model de geometrie X. unde Γ - un subgrup discret G. acționează în mod liber pe X. Dacă colectorul are o structură geometrică, permite structurii la care modelul este maximizată.
Modelul tridimensional al geometriei X se referă la geometrisation teorema, dacă este maximă și există cel puțin un colector cu structura geometrică pe geometrii X. Thurston clasificate 8 modele care îndeplinesc aceste condiții. Aceste simetrii sunt numite uneori geometrii Thurston. (Există, de asemenea, un număr infinit de modele de stabilizatori geometrice compacte.)
Simetriile grafice de funcții