LEKTsIYaIntegralnaya și funcția de distribuție variabilă aleatoare SLN-evaluate diferențial și proprietățile lor.
In toate cazurile de mai sus, variabila aleatoare determinată prin stabilirea magnitudinii valorilor și probabilitățile acestor valori.
Cu toate acestea, această metodă este aplicabilă nu întotdeauna. De exemplu, în cazul unei variabile aleatoare continue, valoarea sa poate umple un interval arbitrar. Evident, în acest caz, setați toate valorile unei variabile aleatoare este pur și simplu nerealist.
Chiar și în cazul în care se poate face, de multe ori problema este rezolvata foarte dificil. Considerat doar un exemplu, chiar și cu o stare relativ simplă (numai patru dispozitive) conduce la calcule destul de incomode, iar dacă problema este de câteva sute de unități?
Prin urmare, apare problema posibilității de a refuza o abordare individuală a fiecărei probleme și pentru a găsi posibile este cel mai comun mod de a defini orice tip de variabile aleatoare.
Să - numărul real. Probabilitatea evenimentului care X are o valoare mai mică de x. t. e. X Opredelenie.Funktsiey distribuție numită funcția F (x), care determină probabilitatea ca o variabila aleatoare X, ca rezultat al testului va avea o valoare mai mică de x. Funcția de distribuție este, de asemenea, numită funcția integrală. Funcția de distribuție există pentru continuă și pentru variabile aleatoare discrete. Se caracterizează complet o variabilă aleatoare, și este o formă de distribuție. Pentru o variabilă aleatoare discretă, funcția de distribuție are forma: Semnul inegalității în sumă indică faptul că însumarea este peste valorile posibile ale valorilor aleatorii care sunt mai mici decât argumentul x. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este creșteri discontinue și neregulate, atunci când trece prin fiecare xi valoare. Proprietățile funcției de distribuție .. Atunci când rezolvarea problemelor practice de multe ori găsi exact legea variabilă aleatoare este dificil. Cu toate acestea, toate procesele asociate cu variabile aleatoare pot fi împărțite în mai multe tipuri, fiecare dintre care pot fi asociate cu orice - orice lege de distribuție. Am examinat mai multe tipuri de distribuție variabilă aleatoare discrete, cum ar fi distribuția binomială, și Raspredelenie Puassona. Să luăm acum în considerare anumite tipuri de distribuții pentru variabila aleatoare continuă. (Cebîșev Pafnutiy Lvovich (1821-1824) - matematician român) În practică, este greu de spus ce valoarea specifică va lua o variabilă aleatoare, cu toate acestea, sub influența mai multor factori diferiți, comportamentul unui număr mare de variabile aleatoare aproape pierde aleatoare și devine naturală. Acest fapt este foarte important în practică, t. K. permite să se prevadă rezultatul experienței atunci când sunt supuse unui număr mare de factori aleatorii. Cu toate acestea, acest lucru este posibil numai în anumite condiții, care sunt determinate de legea numerelor mari. Prin legea numerelor mari sunt teorema lui Cebîșev (cazul cel mai frecvent), și teorema lui Bernoulli (cel mai simplu caz), care va fi discutat mai târziu. Luați în considerare discret variabila aleatoare X (deși toate vor fi spus mai jos este valabil pentru variabile aleatoare continue), un tabel de alocare predeterminat: Este necesar să se determine probabilitatea ca o valoare deviere a unei variabile aleatoare de așteptare matematică nu va fi mai mult decât un număr specificat de e. Teorema. (Inegalitatea Cebîșev lui) Probabilitatea ca abaterea variabila aleatoare X de la așteptările sale în valoare absolută mai mică decât chislae pozitiv, nu mai puțin. Vă atrag atenția că, în cazul în care n studiile independente trebuie amintit faptul că această formulă este un alt Teorema.Esli X1, X2, ..., HN- variabile aleatoare reciproc independente, în care dispersia uniformă limitată (să nu depășească un număr constant), atunci, deoarece nu a fost pozitiv suficient inegalitate de probabilitate chisloe este arbitrar aproape de unul, în cazul în care numărul de variabile aleatoare este suficient de mare. . Asta este, putem scrie: Se întâmplă adesea ca variabilele aleatoare au aceeași așteptare. În acest caz, teorema Cebîșev este oarecum simplificată: Partea fracțiune a înregistrat mai sus expresie nu este nimic mai mult decât media aritmetică a valorilor posibile ale variabilei aleatoare. Teorema afirmă că, deși fiecare valoare individuală a unei variabile aleatoare poate fi destul de diferit de așteptările lor matematice, dar media aritmetică a acestor valori vor fi infinit mai aproape de media aritmetică a așteptărilor. Abateri de așteptările atât în pozitive și în direcția negativă, de la așteptările sale matematice, în media aritmetică se anulează reciproc. Astfel, valoarea valorilor medii aritmetice ale caracterului variabilei aleatoare pierde caracterul aleatoriu. Să studiile fabricate n independente, fiecare dintre care probabilitatea unui eveniment A este egal cu p. Posibilitatea de a determina cu aproximație frecvența relativă de apariție a evenimentului A. Teorema.Esli în fiecare dintre n studii independente probabilitatea p de apariție a evenimentului A este constantă, în mod arbitrar aproape de probabilitate unitate că deviația de frecvență relativă a probabilității p în valoare absolută este arbitrar mic în cazul în care numărul de încercări p este suficient de mare. Aici m - numărul de apariții ale evenimentului A nu rezultă din toate cele de mai sus rezultă că o creștere a numărului de încercări, frecvența relativă este ferm angajată cu probabilitatea p. t. e .. Teorema se înțelege numai probabilitatea abordării de frecvență în raport cu probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare studiu. În cazul în care probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare încercare sunt diferite, atunci teorema următoare, cunoscut sub numele de teorema lui Poisson. Teorema.Esli realizate din experimente independente n și probabilitatea unui eveniment A în fiecare experiment este egal cu pi, apoi cu creșterea frecvenței f a evenimentului A converge în probabilitate media aritmetică a pi probabilități. După cum sa menționat deja, pentru un număr suficient de mare de teste stabilite în aceleași condiții, caracteristici ale evenimentelor aleatoare și variabile aleatoare devin aproape non-aleatoare. Acest lucru vă permite să utilizați rezultatele observațiilor de evenimente aleatorii pentru a prezice rezultatul unui anumit experiment. Limita Teorema Probability definesc corespondența dintre caracteristicile teoretice și experimentale ale variabilelor aleatoare, cu un număr mare de teste. În legea de mai sus numerelor mari nu sa spus nimic despre legea de distribuție a variabilelor aleatoare. Noi pune problema de a găsi limita a distribuției sumei de drept când numărul de termeni n crește pe termen nelimitat. Această problemă este rezolvată prin Lyapunov limită centrală teorema, care a fost formulată mai sus. În funcție de condițiile de distribuție a variabilelor aleatoare Xi. formând suma, diferitele formulări ale teoremei limită centrală. Să presupunem că variabilele aleatoare Xi sunt reciproc independente și identic repartizate. Teorema.Esli velichinyXi aleatorii reciproc independente și au aceeași lege de distribuție cu medie m și dispersieys2, în care există un al treilea momentn3 absolut, atunci când creșterea nelimitată a legii de distribuție suma de testare n mod arbitrar aproape de normal. Teorema. (DeMoivre Teorema - Laplace) Daca f se face experimente independente, fiecare dintre care un eveniment are loc cu o probabilitate p, atunci pentru fiecare interval (a, b) următoarea relație deține: în care = Y - numărul de apariții ale lui A în n încercări, q = 1 -p, P (x) - funcția Laplace - normalizarea funcției Laplace. De Moivre - Laplace descrie comportamentul distribuția binomială pentru valori mari ale lui n. Această teoremă ne permite de a simplifica calculul formulei de distribuție binomială. Calcularea probabilității ca valoarea valorii aleatoare la un interval predeterminat pentru valori mari ale lui n este extrem de dificil. Este mult mai ușor de utilizat formula: De Moivre - Laplace este utilizat pe scară foarte largă în rezolvarea problemelor practice. Exemplu. Probabilitatea evenimentului A în fiecare studiu este de 0,3. Folosind inegalitatea Cebîșev de a estima probabilitatea ca în 10.000 de procese deviere a frecvenței relative de apariție a evenimentului A, prin probabilitatea ca acesta nu va depăși valoarea absolută a 0,01. În conformitate cu inegalitatea Cebîșev probabilitatea ca abaterea variabilă aleatoare de la așteptările sale ar fi mai mică decât un anumit număr de e, este limitată în conformitate cu inegalitatea. Este necesar să se determine așteptările și variația numărului de apariție a evenimentului A cu un singur experiment. Pentru eveniment O variabilă aleatoare poate lua una din două valori: 1- eveniment a apărut a apărut eveniment 0-. Probabilitatea ca valoarea 1 este egală cu probabilitatea p = 0,3, iar valoarea de probabilitate este probabilitatea de apariție a non-eveniment A 0- Prin definiție, așteptarea avem: În cazul studiilor n independente obținem Aceste ecuații deja menționat mai sus. În cazul nostru, obținem: Probabilitatea abaterii frecvenței relative de apariție a unui eveniment A în n trialuri probabilității la o valoare care să nu depășească e = 0,01 este: Expresia care rezultă din aceste simpla transformare nu este altceva decât probabilitatea de deviere numărul m de apariții ale A din valoarea așteptată nu mai mare decât d = 100. Conform inegalității Cebîșev, această probabilitate nu este mai mică decât suma Exemplu. Cât de multe elemente trebuie să fie verificate la o probabilitate de cel puțin 0,96, era de așteptat ca valoarea absolută a abaterii de frecvență relativă a părților corespunzătoare ale probabilității de articole care nu prezintă defecte să fie egală cu 0,98, nu depășește 0,02. condiție sarcină înseamnă de fapt că inegalitatea: În cazul în care n - numărul de componente adecvate, adică - numărul de articole scanate. Pentru a aplica inegalitatea Cebîșev transformăm această expresie: După multiplicarea expresiei în paranteze, de m obținem probabilitatea de deviere în valoare absolută a componentelor adecvate din așteptările sale matematice, prin urmare, este posibil să se aplice inegalitatea Cebîșev, t. E., această probabilitate nu trebuie să fie mai mică decât valoarea, și cu condiția problemei este de asemenea nu mai puțin de 0.96. Astfel, obținem. După cum sa menționat în problema precedentă, varianța poate fi găsită de formula. E. Pentru a îndeplini condițiile necesare trebuie să fie de cel puțin 1225 părți. Exemplu. Necesarul zilnic de energie electrică în sat este o variabilă aleatoare a cărei așteptări este egală cu 3000 kW / h, iar variația de 2500 pentru a evalua probabilitatea ca a doua zi consumul de energie în această localitate va fi 2500-3500 kW / h. Pentru a găsi probabilitatea unei variabile aleatoare care se încadrează în intervalul specificat: Valorile extreme gama se abat de la așteptările de la aceeași valoare, și anume - pe 500. Atunci putem scrie pentru inegalitatea Cebîșev: E. Probabilitatea dorită nu va fi mai mică de 0.99. Exemplu. Deviația standard a fiecăreia dintre 2500 variabile aleatoare independente nu este mai mare de 3. Pentru a evalua probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii de media aritmetică a acestor variabile aleatoare din media aritmetică a așteptărilor lor matematice nu depășesc 0,3. Pentru a găsi probabilitatea inegalitate Cebîșev în cazul sumei variabilelor aleatoare este de forma: Dacă deviația standard nu depășește 3, este evident faptul că dispersia nu depășește 9. Cantitatea e din situația problemei este 0.3. Apoi. Din aceasta vom obține pentru n = 2500: Exemplu. Prin selectiv este necesar să se determine lungimea medie a pieselor produse. Cât timp ar trebui să investigheze detaliile unei probabilități mai mare de 0,9, se poate argumenta că lungimea medie a produsului selectat va fi diferit de așteptarea medie (lungimea medie a părți ale întregii părți) este nu mai mult de 0,001 cm. Sa constatat că media detalii de deviere lungime maximă nu depășește 0,04 cm. Prin ipoteză, dacă deviația standard este mai mică de 0,04, dispersia este, evident, să nu depășească (0,04) 2. Așa cum este definit de condiția ca Dacă convertiți raportul între paranteze, și apoi se aplică inegalitatea Cebîșev, obținem: E. Pentru a atinge probabilitatea dorită este necesară pentru a selecta mai mult de 16.000 de piese. Abordarea descrisă mai sus, după cum se poate observa, poate rezolva multe probleme pur practice. Exemplu. Probabilitatea ca o parte selectată în mod aleatoriu va fi defectă, la fiecare control este același și egal cu 0,2. Se determină probabilitatea ca între 50 părți selectate în mod aleatoriu defect va fi de cel puțin 6. Pentru a folosi teorema DeMoivre - Laplace găsi așteptarea și variația numărului de piese defecte 50 - selectate TI: De fapt, problema este de a determina probabilitatea ca piesele defecte vor fi de cel puțin șase, dar, evident, nu un minut 50-. Valorile funcției Laplace sunt pe masă. Desigur, funcția Laplace (10) au o masă, dar t. A. În tabele indică faptul că F (3) = 1,0000, toate valorile cantităților mari de 3 este de asemenea egal cu 1. funcție în plus cm. Laplace. Exemplu. Este cunoscut faptul că 60% din numărul total de produse sunt produse de primele produse de calitate. Acceptor 200 ia primele produse disponibile. Care este probabilitatea ca unele dintre ele vor fi de la 120 la 150 de articole de clasa întâi? Probabilitatea ca elementul ar fi prima clasa, este, evident, egal cu 0,6. Numărul estimat de produse de primă clasă este: Prin Teorema de Moivre - Laplace obține: Exemplu. Verificarea a constatat că 96% din produsele care nu sunt mai mici decât perioada garantată. 15000 articole selectate aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca o durată de viață mai puțin garantat de a fi de la 570 la 630 de produse. Probabilitatea ca durata de viață a produsului este mai mică decât echivalentul garantat: Numărul estimat de astfel de produse încă Prin Teorema de Moivre - Laplace obține:
Deci, pentru exemplul discutat mai sus, funcția de distribuție este de forma:articole similare